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《《线性代数》练习题及详细解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、《线性代数》练习题及详细解答第一章1.1. 解下列方程组,并在直角坐标系中作出图示.1);2);3).解:1)将第一个方程减去第二个方程,得2y=-1,y=-1/2,再代入第个方程解得x=1+1/2=3/2,绘出图示如下图所示,两直线相将于一点方程有唯一解.2)将第二个方程除以3得,与第一个方程相比较知此方程组为矛盾方程组,无解,绘出图示如下图所示3)将第2个方程除以2,可以得到第一个方程,令y=t为任意实数,则x=1+t,方程组的解集为(1+t,t),图示如下图所示,方程的解集为一条直线. 2.用Gauss消元法解下列线性方程组.1
2、)2)3)4)解:1)对增广矩阵进行变换:则x3为自由变量,令x3=t为任意实数,则x1=10-3t,x2=5t-7,方程有无穷多解,解集为(10-3t,5t-7,t).2)对增广矩阵进行变换:则x3为自由变量,令x3=t为任意实数,则x1=-t,x2=2t-1,解集为(-t,2t-1,t).3)对增广矩阵进行变换:方程有唯一解x1=x2=x3=x4=1.4)此为齐次方程,对系数矩阵进行变换可知方程有唯一零解x1=x2=x3=0. 3.确定下列线性方程组中k的值满足所要求的解的个数.1)无解:2)有唯一解:3)有无穷多解:解:1)对增广矩
3、阵作变换:因此,要使方程组无解,须使8-3k=0,解得k=8/3,即当k取值为8/3时,方程无解.2)对增广矩阵作变换:因此,如要方程组有唯一解,必须有,即.3)对增广矩阵作变换因此,如要方程组有无穷多解,必须4-4k=0,即当k=1时,方程组才有无穷多解. 4.证明:如果对所有的实数x均有ax2+bx+c=0,那么a=b=c=0.证:既然对所有的实数x都有ax2+bx+c=0成立,那么具体地分别取x=0,x=1,x=2代入上式也成立,则有,这是关于a,b,c的齐次线性方程组,对其系数矩阵作变换:看出此方程只有唯一零解,因此有a=b=c=
4、0. 5.讨论以下述阶梯矩阵为增广矩阵的线性方程组是否有解;如有解区分是唯一解还是无穷多解.1)2)3)4)解:1)方程组有一个自由变元x2,因此方程组有无穷多解.2)方程组的三个变元均为首项变元,因此方程组有唯一解.3)第三个方程0=4说明此方程无解.4)方程组的三个变元均为首项变元,因此方程组有唯一解. 6.对给定方程组的增广矩阵施行行初等变换求解线性方程组..1)2)3)解:1)对增广矩阵进行变换:方程组无解.2)对增广矩阵进行变换可以看出y和w为自由变元,则令y=s,w=t,s与t为任意常数,则x=100-3s+96t,z=54+
5、52t.方程的解集表示为(100-3s+96t,s,54+52t,t).3)对增广矩阵进行变换可知y与z为自由变元,令y=s,z=t,s与t均为任意实数,则,方程组的解集为 7.对给定齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换求解下列方程组.1)2)解:1)对系数矩阵作初等变换.方程只有零解,x=y=z=0.2)对系数矩阵作初等变换因此,w为自由变元,令w=t为任意实数,则x=-2t,y=0,z=t,方程组的解集为(2t,0,t,t). 8.设一线性方程组的增广矩阵为求α的值使得此方程组有唯一解.解:对增方矩阵求初等变换因此,此方程组要有唯一
6、解,就必须满足α+2≠0,即α≠-2. 9.设一线性方程组的增广矩阵为1)此方程有可能无解吗?说明你的理由.2)β取何值时方程组有无穷多解?解:1)此方程一定有解,因为此方程是齐次方程,至少有零解.2)对此增广矩阵做初等变换因此,只有当β+5=0,即β=-5时,方程才有无穷多解. 10.求λ的值使得下述方程组有非零解.解:对系数矩阵作初等行变换:因此,要使方程有非零解,必须有(λ-2)2+1=0,但(λ-2)2+1≥0对λ取任何实数值总是成立,因此必有(λ-2)2+1≠0,因此,无论λ取什么值此方程组都不会有非零解. 11.求出下列电路网
7、络中电流I1,I2,I3的值.解:根据基尔霍夫定律可得如下方程组:对增广矩阵做初等行变换最后得I1=7/13,I2=22/13,I3=15/13 12.一城市局部交通流如图所示.(单位:辆/小时)1)建立数学模型2)要控制x2至多200辆/小时,并且x3至多50辆小时是可行的吗?解:1}将上图的四个结点命名为A,B,C,D,如下图所示:则每一个结点流入的车流总和与流出的车流总和应当一样,这样这四个结点可列出四个方程如下:对增广矩阵进行变换:可见x3和x5为自由变量,因此令x3=s,x5=t,其中s,t为任意正整数(车流量不可能为负值),则
8、可得x1=500-s-t,x2=s+t-200,x4=350-t.2)令x2=200,x3=s=50,代入上面的x2的表达式,得200=50+t-200,求出t=350,则x1=500-s-t
