数学建模(1对变化进行建模)

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1、引言数学模型简化模型实际问题的数据分析验证主讲人：何旭彪预测、解释数学结论阐明数学模型可以看作是为了研究一种特定的实际系统而设计的数学结构。从模型中，可以得出一些数学结论，帮助决策者规划未来。1简化：多数模型对实际问题进行了简化。一般情况下，模型只能近似表示现实对象。一种强有力的简化关系是比例性。定义：两个变量y和x是成比例的，如果一个变量总是另一个变量的常数倍。即：如果对某个非零常数k，有记为：两个变量成比例的验证方法：图形近似位于通过原点的直线上。弹簧伸长对于末端的质量的散点图是过原点的一条近似直线，比例的假设是合理的。例1：测试的比例性e拟合出k=0.

2、01625关于弹簧的伸长和弹簧末端质量，收集到如下数据：于是建立估算模型：e=0.01625mm50100150200250300350400450500550然后把该模型的直线图形画到散点图上，观察拟合效果。e11.882.753.254.384.885.686.507.258.008.75图中显示这个简化的比例模型是合理的。对变化进行建模预测未来的范例是：未来值=现在值+变化也就是说，根据现在知道的东西加上变化，可以预测未来。1对变化进行建模而对于变化，先可以按照如下公式来研究§1-1用差分方程对变化进行建模变化=未来值-现在值根据收集的数据，识别出变化

3、趋势的模式，就可以预测未来值§1-2差分方程近似描述变化离散时间->差分方程§1-3动力系统的解法连续时间->微分方程这两者都是描述和预测行为变化的强有力的方法。§1-4差分方程组本章学习差分方程6§1-1用差分方程对变化进行建模例1储蓄存单考虑一开始价值为1000美元的储蓄存单在月利率为差分表示在一个时间周期里考察对象的变化量。1%的条件下的累积价值.下面的数列表示该储蓄存定义：数列一阶差分是单逐月的价值：A=(1000,1010,1020.10,1030.30,…)在离散时间段上的变化的建模：Δan=an+1–an=0.01anan+1=an+0

4、.01an=1.01an对于正整数n，第n个一阶差分是(n+1)-n=一个时间周期有了初值，于是就得到了动力系统模型:下标n通常代表时间通过表示或近似表示从一个周期到下一个周期的变化，可以构建差分方程。如果要从账户中每月提款50美元，怎么办？数学建模(1对变化进行建模).ppt[兼容模式](1/8)例2抵押贷款买房六年前，你的父母筹措月利率为1%、每月还款为880.87美元的20年贷款资金80000美元买了房子.他们已经还款72个月，他们还欠多少抵押贷款？每个周期欠款额因要付的利息而增加，又因每月还款而减少：Δbn=bn+1–bn=0.01bn–8

5、80.87动力系统模型:定义：一个序列就是定义域为全体非负整数集合上的一个函数，其值域为实数的一个子集。一个动力bn+1=bn+0.01bn–880.87系统就是序列各项之间的一种关系。数值解就是满b0=80000足该动力系统的一张数值表。序列：B=(80000，79919.13，79837.45，…)课堂习题：§1-2差分方程近似描述变化1.代入n=0,1,2,3,写出由下列动力系统表示的前四个在大多数应用问题中，数学地描述变化不会像储蓄代数方程：存单和抵押贷款案例中那样有确切的步骤。一般情a=2a+6,a=0况下，我们必须画出变化，观察模式，

6、然后用数学n+1n0术语来近似描述变化，变化=Δa=某个函数f2.对变化进行建模。离散变化对连续变化你的信用卡上有月付利息1.5%的欠款500美元。差分方程表示了离散时间区间情形中的变化.你每月偿还50美元并且不再有新的欠款.连续变化用微分方程表示。简化：可用差分方程来近似描述连续变化例1酵母培养物的增长下表数据是从测量酵母培养物增长的试验中收集来的。2.模型建立：时间n酵母数数量变化1.问题分析：由散点图可知△p(n)关于p(n)大致成线性关系，由此建立模型：(小时)量pnpn+1-pn△p(n)＝k*p(n)+b09.68.7生物变化量生

7、物变化对生物量3.求解模型118.310.7关键是求出参数k和b.229.018.2347.223.9方法是通过曲线拟合的方法找出一条最满足471.148.0△p(n)和p(n)的的直线，从而求出参数k和b.5119.155.5曲线拟合的调用格式和功能（Matlab）：6174.682.7p=polyfit（x,y,n）是曲线拟合命令，其中x是自变量，y是因变量，生物量pnn是要拟合的阶数。功能是将采样值x,y拟合为一个n次的多项式，7257.3它返回的值是多项式的系数。图形显示：种群变化与种群大小成比例,y1=ployval(p,x)功能是采样值x对

8、应的拟合后的y值，用y1标记。△p(n)关于p(n)