复变函数课件s5

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1、第一节孤立奇点1一、孤立奇点的概念定义如果函数f(z)在不解析z0,但f(z)在z0的某一去心邻域0

2、

3、洛朗级数无负幂项则z0为f(z)的可去奇点.(2)判断极限limf(z):若极限存在且为有限值,z→z0则z为f(z)的可去奇点.06sinz1214例3=1−z+z−?中不含负幂项,z3!5!sinzz=0是的可去奇点.z如果补充定义:sinzz=0时,=1,zsinz那末在z=0解析.z7ze−1例4说明z=0为的可去奇点.zze−11121n解=(1+z+z+?+z+?−1)zz2!n!11n−1=1+z+?+z+?,0

4、(z−z0)的最高幂为(z−z0),−m−2−1即f(z)=c−m(z−z0)+?+c−2(z−z0)+c−1(z−z0)+c+c(z−z)+?(m≥1,c≠0)010−m1或写成f(z)=g(z),m(z−z)02g(z)=c+c(z−z)+c(z−z)+?−m−m+10−m+20那末孤立奇点z称为函数f(z)的m级极点.90说明:(1)2g(z)=c+c(z−z)+c(z−z)+?−m−m+10−m+20特点:1.在z−z0<δ内是解析函数2.g(z0)≠0(2)如果z0为函数f(z)的极点,则limf(z)=∞.z→z03z+2例5有理分式函数f(z)=2

5、,z(z+2)z=0是二级极点,z=−2是一级极点.102)极点的判定方法(1)由定义判别f(z)的洛朗展开式中含有z−z的负幂项为有限项.0(2)由定义的等价形式判别g(z)在点z0的某去心邻域内f(z)=m(z−z)0其中g(z)在z0的邻域内解析,且g(z0)≠0.(3)利用极限limf(z)=∞判断.z→z011例1求32的奇点,如果是极点,指出它的级数.z−z−z+111解：由于=,322z−z−z+1(z+1)(z−1)所以:z=−1是函数的一级极点,z=1是函数的二级极点.123.本性奇点如果洛朗级数中含有无穷多个z−z0的负幂项,那末孤立奇点z称

6、为f(z)的本性奇点.01z−11−21−n例如，e=1+z+z+?+z+?,2!n!含有无穷多个z的负幂项(0

7、)≠0,m为某一正整数,那末z0称为f(z)的m级零点.3例6z=0是函数f(z)=z(z−1)的一级零点，3z=1是函数f(z)=z(z−1)的三级零点.注意:不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.（f(z)只有在z等于0，在z的去心领域内不为0）15002.零点的判定如果f(z)在z解析,那末z为f(z)的m级00零点的充要条件是(n)(m)f(z0)=0,(n=0,1,2,?m−1);f(z0)≠0.证(必要性)如果z0为f(z)的m级零点m由定义:f(z)=(z−z0)ϕ(z)设ϕ(z)在z的泰勒展开式为:02ϕ(z)=c+c(z−z)+c(z−z)+?,

8、0102016其中c0=