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1、弹性力学中广义变分原理的进一步研究钱伟长上海工业大学〔,。提要本文介绍了作者近年来有关弹性力学中广义变分原理的研究,我们证一一汇,八”〕,明了在弹性力学的胡海昌梦津久郎变分原理中应力应变关系仍属变,。‘,。,,。‘,只有两类是独立的,分约束条件于是在本原理三类变分变量中,“,“,。,一即或从此我们在胡海昌鹭津久一郎原理和海林格赖斯纳原〔’,。理之找到了等价定理,。为了解除应力应变关系的变分约束我们提出了一个高阶拉格朗日乘子法用,这个高阶拉氏乘子法我们从胡鹭原理和海赖原理分别导出了前所未知的更普遍的。,广义变分原理我们也证明了在这两
2、类变分原理之间有等价定理和相关的等价关。系存在一、弹性力学中小位移问题的数学描述,‘“,,,。设厂是弹性体的容积它受分布体积力萝的作用是受有已知外力少‘作,二‘,,用的那一部份边界表面而是位移万已知的另一部份边界表面在静力平衡时,,。和“,,应力应变位移满足下列五组条件即。平衡条件,,声二在犷内,‘“劣,。其中代表闰而为哑标。,,应力应变关系对线性弹性而言我们有,·,,,,,,或,,月,在犷内,,,‘,,,‘,,‘,二,‘‘‘,‘,,其中和分别为弹性常数和柔性常数和相类的“。对称关系。应变位移关系。‘,一。‘,。,在犷内一专,‘。
3、‘为位移分量,其中拟已知表面位移的边界条件‘二杯一,一在上。边界面上外力已知的边界条件一©1994-2008ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net‘”‘,·尹在上,设为总边界面积则。,·于·,·,·,,一从等十五个方程式中我们找到满足边界条件,,,。的幻在容积中的解,现在让我们列入应变能密度和余能密度它们是由下列积分定义的‘。,一‘,。了,·,,一‘,。,‘,丁一,·,对线性弹性力学而言它们可以用式写出下
4、式其意义亦见图。。‘,,才。‘,。,,。‘,。‘‘,,一专‘,一专“一而且满足下列能量密度恒等式一一诊,一,,。·,在非线性弹性力学见图中和是用定义的所以应力应变关系可以写成一一一二了二一一,一万二一,“盯才“才·。‘。即能量密度恒等式在非线性应力应变关系中对一切和,也是满足的无气幼线性弹性非线性弹性图应变能密度和余能密度、一二胡海昌营津久一郎原理及其变分约束一。胡海昌耸津久一郎变分原理是最小位能原理通过解除其约束而导出的在小位移弹性,静力学中最小位能原理可以写成下式各刀“,,“‘‘‘,刀一觅〔一声犷一一其变分约束条件为‘一。‘,
5、,已‘“‘,,才犷内票典一玄、,一,在‘,©1994-2008ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net“瓦,。,其。。“一在上中,·,·,·这里很易证明当几为极小时在约束条件和下给出的欧拉方程即为平衡方程·,和给出的自然边界条件即为已知外力的边界条件。,。‘,。‘,,·所以满足最小位能原理的解即为满足小位移弹性力学的全部数学方程·。一的解一亡‘,,,。,,胡海昌鹜津久一郎变分原理认为如果是三类相互独立的变量
6、则泛函,,‘‘·‘··“。,一“一,一‘一,·,,,,,一“见小专〕卜芬为驻值的条件各一甲‘,‘,‘必··。·所给出的满足全部弹性力学方程一式也可以写为,、二,、,二「广‘‘。,,‘、、刀月,一一户一‘,‘一‘,犷一、叭考’一‘一“,“声’去’‘夕’卜万一、一””‘‘口‘‘·一觅,一觅,,一“,“一,“。人们长期以来误认为这个变分原理是弹性力学中最一般的变分原理弹性力学中,”,的其他的变分原理都可以看作是三类变量广义变分原理的特殊情况见〔〕中第,,页或明确把海林格赖斯纳原理着作是这个原理的特殊情况见〔〕的。节。不论胡海昌或鹜津久一
7、郎的推导和证明都有先验的成份,‘’,··例如胡海昌在年的文章中先验地认为或式中的三类变量一。,定都是独立的如果这三类变量可以证明是独立变量则刀衬,的驻值条件的确给出全部弹。。。性力学方程的解可借这只是一个先验的假设无法予以证实鹜津久一郎〔〕和邻〔〕的文章和专著试图通过拉氏乘子法来推导解决。。,这个问题可惜在推导过程中也用了几个先验的假说为了说明这个问题让我们按鸳津。,,〔〕的中译本节的原文来进行讨论鸳津在译本第页中有这样一段。“,话引用拉味乘子可以把上述应变位移关系和边界位移巳知条件并入变分表达式的骨架。通过引进分别定义在。,少广
8、内来推广最小位能原理犷内和上的之蛇色压至二勿点塑』。义原理可以表达如下问题的真实解可以由下面所定义的泛函刀的驻值条件给出,一,·一〕“一。,了,一。了,,,了犷称卜几皿会,少,,。‘·,、‘一。“一“一犷,,。‘,‘,,。‘,‘,在这个泛函中经受变
