弹塑性力第12章.pptx

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1、岩土工程XXX第12章薄板理论薄板是一种常见的工程构件形式机械、航空和土建工程应用广泛目录12.1问题与假设12.2直角坐标解答12.3极坐标解答12.1问题与假设基本概念平板—两个平行面和垂直于该平面的柱面所围成的物体称为平板薄板—厚度h与最小长度或宽度lmin之比h/lmin˂1/15中面—板内厚度中点构成的平面板的受力薄膜力—纵向荷载作用下，板的内力为面拉力（或压力）及面内剪力，这些力统称为薄膜力平行于板面的纵向荷载（平面应力问题）垂直于中面的横向荷载12.1问题与假设刚性板—最大挠度ѡmax

2、远远小于厚度h时，内力以弯曲力为主，薄膜力可以忽略不记，此时认为板内仅有弯曲变形而无中面的面内变形柔性板—最大挠度ѡmin与h为同量级或更大时，板的弯曲力和薄膜力将具有同量级，必须同时考虑弯曲变形和中面的面内变形划分ѡmax/h≤1/5时按刚性板计算1/5<ѡmax/h<5时按柔性板计算ѡmax/h≥时按绝对柔性板计算我们只讨论薄板小挠度弯曲理论由于挠度很小，可认为纵向荷载产生的薄膜应力和横向荷载产生的弯曲应力互不应影响，因此可应用叠加原理计算总的薄板内力12.1问题与假设附加假设在板弯曲变形中，中

3、面法线保持为直线且仍为弹性曲面（挠度曲面）的法线。（基尔霍夫直线假设）板的厚度方向的挤压变形可忽略不计，即εz=0。板的中面只发生弯曲变形，没有面内伸缩。在本构方程中不考虑次要应力σz，τzx和τzy对变形的影响。解题思路薄板问题采用位移法求解，基本思路是确定位移函数的形式，使其满足位移表示的平衡微分方程，然后在满足边界条件。薄板位移和内力均可用薄板挠度表示，问题归结为求解挠度。12.2直角坐标解答12.2.1基本方程（1）附加假设与位移函数首先假设②可知ѡ=ѡ（x，y）根据假设①，薄板弯曲后，板的

4、法线与弹性曲面在x方向和y方向的切线都保持互相垂直，没有剪应变，即上式对z积分，注意到ѡ与z无关，得12.2直角坐标解答其中，f1（x，y）和f2（x，y）是任意函数。根据假设③，即有f1（x，y）=f2（x，y）=0，从而可见，薄板小挠度弯曲被简化为中面的弯曲问题。只要中面挠度ѡ确定，任何点的位移都可确定。12.2直角坐标解答（2）几何方程与应变分量根据上述分析，薄板内不等于零的应变分量有如下三个在小变形的情况下，和分别代表薄板弹性曲面在x方向和y方向的曲率，而代表在x方向和y方向的扭曲率。12.

5、2直角坐标解答（3）本构方程与主要应力根据假设④，即在本构方程中不考虑次要应力σz，τzx和τzy，薄板弯曲问题的本构方程与平面应力问题的完全相同12.2直角坐标解答（4）平衡方程与次要应力次要应力即τxz，τyz和σz是平衡所必须的，且可根据平衡条件来确定。注意到没有x，y方向的体力，这两个方向的平衡方程为将式（12.3）代入上式得（12.4）12.2直角坐标解答上式对z进行积分，注意到如下边界条件可得其中，D称为板的抗弯刚度，其表达式为次要应力分量σz可根据z方向的平衡方程求得。在不及体力的情况

6、下，该方程变为将式（12.5）代入上式得，积分上式得（12.5）（12.6）（a）12.2直角坐标解答在薄板的下面，有边界条件将式（a）代入式（b），求出f3（x，y）后再代入式（a）得（b）（12.7）12.2直角坐标解答（5）平衡方程与挠曲方程根据平衡微分方程，已经用挠度ѡ表示了σz。σz在薄板上面需满足下述边界条件将式（12.7）代入式（c）得即式（12.8）称为薄板的弹性曲面微分方程或挠曲微分方程。从薄板中取微元体进行平衡分析，同样可推导出该公式。根据上述分析，挠度ѡ可以作为基本未知量，且薄

7、板弯曲问题归结为：在给定薄板边缘的边界条件下求解挠曲微分方程。如果求得挠度，则板中位移、应力等均可按照前述公式计算。通常情况下需要求出薄板内力，下面推导内力与挠度之间的关系。（12.8a）（12.8b）（c）12.2直角坐标解答（6）薄板内力在x为常数的横截面上，单位宽度板上正应力σx合成的弯矩Mx、剪应力τxy合成的扭矩Mxy、剪应力τxz合成的横向剪力Qx分别为在y为常数的横截面上，单位宽度板上正应力σy合成的弯矩My、剪应力τyx合成的扭矩Myx、剪应力τyz合成的横向剪力Qy分别为根据剪应力

8、互等定理，有Mxy=Myx。将式（12.3），式（12.5）代入式（12.9），（12.10）得（12.9）（12.10）（12.11）12.2直角坐标解答将式（12.3）和（12.5）与（12.11）进行比较，可以得到用内力矩表示的薄板应力其中，J=h3/12即单位中面长度的截面对中面轴线的惯性矩。（12.12）12.2直角坐标解答12.2.2边界条件现以图12.2所示的矩形薄板为例，说明各种边界的边界条件。假定该板的OA边固定，OC边简支，AB边和BC边自由。（1