弹塑性力学第11章

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1、第十一章理想刚塑性体的平面应变问题§11-1平面应变问题的基本方程§11-2滑移线§11-3滑移线的几何性质§11-4边界条件§11-5刚性平头冲模的压入*§11-6滑移线场的数值解法引言前面主要是讨论了塑性力学中的一些简单问题。但是，对许多具有重大实际意义的问题，由于它们的复杂性，要获得准确的解答往往是很困难的。因此，不得不引用某些假设，使问题得到适当的简化，然后找出近似解答。忽略弹性变形，而把材料看成是刚塑性的，这就是从材料方面作的一个简化。当塑性变形可以自由地发展，这种简化是合理的。但在弹性区特别是弹、塑性区交界处的所谓过渡区域内，这样的简化带来的误差就比较大。尽管如此，引用刚塑性

2、假设以后，仍将使很多具有实际意义的问题得到一个很好的近似解。当物体的形状是很长的或两端固定的等截面柱体，而所受载荷与横截面平行且沿长度不变，这就是弹性力学中的平面应变问题。其变形特点是沿长度方向的应变为零，横截面内的应变与长度方向坐标无关。土建、水利中的挡土墙和重力坝等，都是很接近于平面应变问题的。对于理想塑性体，当截荷逐渐加大时，都可到达极限状态，即载荷不变而变形可以不断增长的状态，与极限状态对应的载荷即为塑性极限载荷。从前面的一些例子中可以看出，如果只要求确定塑性极限载荷，则不须从弹性状态到塑性状态一步步地求解，而可以采用刚塑性材料模型直接求解，所得结果与弹塑性结果相同。本章将讨论理

3、想刚塑性体在平面应变条件下的塑性极限载荷以及在塑性区内的应力和变形分布。由于忽略弹性变形，以下所讲的刚性区实际上包括弹性区以及与弹性变形同量级的约束塑性变形区。11—1平面应变问题的基本方程1．应变状态和应力状态图11-1平面应变取图11—1所示平头冲模压入为例，在横截面内取x、y轴，且取z轴垂直于该平面。对于平面应变问题，物体内各点的位移平行于xy平面，且与z无关，即u=u（x，y）v=v（x，y）w=0由几何方程应有而也与z无关，则应变张量为图11-1平面应变(11—1)εz=0yz=zx=0εxεyγxy（11—2a）相应的应变增量和应变率张量为:(11—2b)取和，，，则有关于应

4、力分量，根据理想刚塑性体的Ｌevy－Mises本构方程：或者就有τyz=τzx=0,由z=0，则得：Sz=0即（11—3）（11—4）解得进而可得平均应力为：设所以，塑性区的应力张量和应力偏张量分别为：由于,所以是主应力之一。如设,由材料力学可得另外两个主应力，从而有τyz=τzx=0σzσ1＞σ2＞σ3（11—5）(11—6)最大剪应力为：z方向的正应力也等于平均应力σ。显然在平面应变情况下，每一点的应力状态相当于平均应力σ加上纯剪应力，如图11—2所示。如不考虑平均应力，则其应力状态相当于纯剪应力状态。作用于τmax作用面上的正面应力为2.基本方程（1）平衡微分方程讨论即将流动的瞬时

5、，体积力不计，且各量与坐标z无关，则有图11-2应力状态（11—7）（2）屈服条件将主应力表达式代入Tresca和Mises屈服条件，得出相同形式的屈服条件，即（11—8）式中：按Tresca屈服条件；按Mises屈服条件。（3）本构关系按Levy—Mises本构关系，有可以化作（11-9a）(11—9b)即（4）体积不可压缩条件由于略去弹性变形，材料成为不可压缩的，则有(11—10)基本方程组中的五个式子：（11—7）、（11—8）、（11—9）、（11—10），并利用边界条件，将决定塑性区内的三个应力分量σx、σy、τxy和两个速度分量υx、υy。对于理想刚塑性问题，在塑性流动区域中

6、的应力分布一般是唯一的，与之对应的塑性极限载荷也是唯一的。但速度场则只能确定到一个未定因子的范围。11—2滑移线1．滑移线及其微分方程塑性区内任一点的应力状态，如图11—3（a）所示，可作图11—3（b）所示的应力圆。从图中可见，它可用平均应力σ与纯剪应力状态τ相叠加的应力状态来表示。平均应力σ=σz=。最大剪应力所在平面平行于z轴，且与主平面成±45°的夹角。其上的正应力和切应力则分别为应力圆上α、β点的横坐标和纵坐标所表示。由屈服条件（11—8）式可知，此应力圆的半径为k，即。在塑性区内每一点都能找到一对正交的极值剪应力方向。于是，在塑性区内可以作出两组正交的连续曲线，曲线上每一点的

7、切线即为该点处极值剪应力作用面的法线方向，所以，它们是极值剪应力的方向线，分别称为α族及β族滑移线。在塑性区内布满了这种正交的滑移线网络，形成滑移线场。由图11—3可知，α滑移线是极值剪应力所在面的法线，如取α、β为右手坐标系，则主应力σ1应位于α、β坐标系的第一、三象限，所以，由σ1方向顺时针转过45°就是α方向，逆时针转45°就是β方向，这种关系使得我们很容易通过最大主应力方向确定滑移场方向。角θ是α线的切线方向与x轴的夹角，并