极限概念教学实践及思索

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1、极限概念教学实践及思索【摘要】极限理论部分是高等数学学习中的一大难点也是一个重点。学生在高中对极限概念不够，在高等数学学习中会困惑，本文分析了学生的知识结构思维水平及极限概念教学中的难点分析。并提出应对措施，帮助学生顺利适应高等数学特点，用运动的观点分析极限现象，并使用数学语言准确描述。【关键词】高等数学极限运动数学语言高等数学是高校学生必修的一门重要基础课，一方面由于微积分在众多学科广泛应用，学生对高数的掌握水平会对他们后继课程的学习起到基础作用，并且对他们在今后的工作以及知识更新将起到深远的影响；另一

2、方面，通过高等数学的学习对学生的逻辑思维能力，抽象思维，归纳演绎等科学思维方法和研究分析问题有清晰的思路，严谨的科学态度。然而极限工具是掌握高数的一把钥匙。首先它是一个难点，这一部分不太容易经过一次思考就能一步到位，是需要学生多次思考不断提高理解深度的重要概念；其次，它又是重点，贯穿高等数学的始终。极限理论是学生在高等数学中的第一个大的障碍。极限部分教学的成败会严重影响到整个高等数学的教学效果。为了搞好这部分教学，有必要分析研究学生的知识能力思维水平现状，分析查找学习中的困难所在，采取有效措施分解难点，让

3、学生理解概念，顺利提高自己的思维水平。一、学生学习现状分析（一）应该说学生对极限部分还是有一定基础的实行新课标之后，很多传统上在高校数学课堂讲解的内容也成了高中数学的重点，比如极限、导数、积分等。但是,由于应试教育背景下，学生可能会对有关运算熟悉，但对概念的理解却深浅不一。（二）初等数学与高等数学在思维方法、研究的内容的差异认识不够（三）倘若思维认识不到位，问题会可能想不清楚，没有清晰地认知，就不会有直观的理解，从而就更难用语言去描述极限概念了种种问题往往交织在一起，造成学生对这一部分内容的复杂心态：一方

4、面觉得这一部分已学过，觉得已经懂了，不屑于听；另一方面接触定义之后发现一无所知，颠覆对极限的所有认识，觉得难以理解。在髙等数学的教学实践中，往往会发现学生有上述两种表现。因此引导学生端正态度，走出认识的误区很重要。二、学生学习困难所在（一）需要清晰地认识到初等数学与高等数学的差异初等数学和高等数学的主要区别之一就是把运动引入数学。初等数学主要研究静态下量与量的数量关系，而高等数学主要研究在运动变化过程中量与量之间的数量关系。因此，学生应清楚明确的认识到这一点，并有意识地用“运动”的观点考虑实际问题：对实际

5、问题抽象成数学模型，并在运动变化过程中分析量与量之间的数量关系。（二）思维方法需要转变在初等数学中常常对有限问题进行研究，在高等数学中会经常讨论无限问题。所以学生应该在思维认识上必须有突破，从有限过渡到无限。（三）要学会并习惯使用数学语言描述问题，让自己的思维变得严密起来三、教学中的应对措施（一）通过有趣的例子提高学生认识，帮助学生以运动的观点认识无限，提高思维水平运动的观点分析问题在中学阶段学习函数时就已将开始了，笛卡尔坐标系建立之后，数学就引进了运动。这一点学生还是比较容易接受的。对于无限的研究可以举

6、出大量鲜活的例子来强化学生的印象，启发他们考试考虑无限的问题。比如：著名的芝诺悖论，阿基里斯（Achilles）追乌龟说：擅跑英雄阿基里斯追乌龟，永远也追不上。因为当他追到乌龟的出发点时，乌龟已先前爬向了一段。他再追完这一段，乌龟又先前爬了一小段。重复这个论点，乌龟总在阿基里斯的前面。课堂上学生对此问题很感兴趣，不管能否有合理的解释，对问题的浓厚兴趣引起对无限问题的思考就是一种思维训练。（二）通过实例说明极限概念的由来，揭开极限的神秘面纱极限是一种思想方法，它与对无限问题的研究相伴，是在求某些实际问题的精

7、确解时产生的。比如圆内接正多边形的面积来可以近似圆的面积，当边数不断增大，正多边形的面积越来越接近圆的面积，当边数无限大的情况下就把圆的面积作为正多边形面积的极限值。从而极限概念的产生就可以解决求圆的面积这一实际问题：转化为求正多边形面积序列随边增大的极限值。（三）理清极限概念出现的内在逻辑过程，把握极限概念本质，并引导学生能数学语言描述。（以数列极限为例说明）数学研究问题要从定性分析过渡到定量研究。对于数列极限概念，内在的思维过程是：由于数列xn的值会随n的变化而变化。我们自然想研究当时数列xn的变化趋

8、势。定性地说：当时数列xn与某一常数a无限接近。我们就称常数a就是数列xn当时的极限值。引导学生如何用语言描述xn与某一常数a无限接近，即数xn数a的“距离”无限接近。启发学生：在数学上如何表示数xn与数a的“距离”无限接近？让学生自己得到极限的直观就是在“条件”下，有结论“无限小”成立。为了定量描述这一现象就得到极限的定义。引入可以任意小的正数，对于上述，一定存在自然数，当时总有成立。启发学生注意定量描述与定性描述的呼应：“