机械工程控制基础-第2章

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1、机械工程控制基础第2章系统的数学模型2.1拉普拉斯(Laplace)变换2.2系统的微分方程2.3系统的传递函数2.4系统的结构图及其等效变换机械工程控制基础第2章系统的数学模型2.1拉普拉斯(Laplace)变换2.1.1拉氏变换及其性质1拉氏变换定义函数f(t)当t≥0时有定义，而且（1）在任一有限时间区间内分段连续；（2）当t→∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即ktf(t)≤Me（M和k为实常数）机械工程控制基础第2章系统的数学模型对于一切s=σ+jω，只要Re(s)=σ>k∞积分−st绝对收敛。∫f(t)edt0∞−stF(s)=∫f(t)edt0F(

2、s)确定的函数是以复变量s为自变量的复变函数，称为f(t)的拉氏变换式（又称象函数）f(t)称为F(s)的拉氏逆变换（又称原函数）。机械工程控制基础第2章系统的数学模型F(s)=L[f(t)]−1f(t)=L[F(s)]机械工程控制基础第2章系统的数学模型2.1拉普拉斯(Laplace)变换2典型函数的拉氏变换f(t)（1）阶跃函数（位置函数）k⎧0t<0f(t)=⎨（k=const）t⎩kt≥0∞k0−stF(s)=L[f(t)]=∫kedt=0s（a）阶跃函数（b）斜坡函数单位阶跃函数，记作1(t)⎧0t<011(t)=⎨L[1(t)]=⎩1t≥0sr(t)Rat0t

3、0t0（d）脉冲函数机械工程控制基础第2章系统的数学模型（2）斜坡函数（又称速度函数）f(t)f(t)⎧0t<0f(t)=kt⋅1(t)=k⎨⎩ktt≥0（k=const）tt∞k0−st0F(s)=L[f(t)]=ktedt=∫20s单位斜坡函数（a）阶跃函数（b）斜坡函数1⎧0t<0F(s)=f(t)=t⋅1(t)=2⎨s⎩tr(t)t≥0δ(t)Rat0tt0t00（d）脉冲函数（e）单位脉冲函数机械工程控制基础第2章系统的数学模型f(t)（3）抛物函数（又称加速度函数）f(t)f(t)k⎧0t<012⎪f(t)=kt⋅1(t)=⎨122ktt≥0t⎪⎩2tt（k=

4、const）000∞1k2−st（a）阶跃函数F(s)=L[（b）斜坡函数f(t)]=∫ktedt=（c）抛物函数302s单位抛物函数1⎧0t<01r(t)2⎪δ(t)Fr((ts))=f(t)=t⋅1(t)=⎨123Ra2⎪⎩tt≥01s2t0ttt00t00（d）脉冲函数（e）单位脉冲函数（f）正弦函数机械工程控制基础第2章系统的数学模型（4）单位脉冲函数δ(t)f(t)⎧0t≠01δ(t)=⎨⎩∞t=0t00重要性质+∞∫δ(t)f(t)dt=f(0)−∞++∞0δ(t)dt=δ(t)dt=1∫−∞∫0−∞∞−st−stL[δ(t)]=δ(t)edt=δ(t)edt

5、=1∫0−∫−∞机械工程控制基础第2章系统的数学模型（5）指数函数δ(t)eαtf(t)αt⎧e⋅1(t)指数增长函数f(t)=⎨α>01−αte−αt⎩e⋅1(t)指数衰减函数t00t∞1αtαt−stL[e]=∫eedt=指数增长函数0s−α∞1−αt−αt−stL[e]=∫eedt=指数衰减函数0s+α机械工程控制基础第2章系统的数学模型（6）正弦函数δ(t)eαtf(t)f(t)11ωt−αtf(t)=sinαt⋅1(t)et000t1∞jαt−jωt−stωL[sinωt]=(e−e)edt=2j∫0s2+ω2机械工程控制基础第2章系统的数学模型（7）余弦函数f

6、(t)=cosαt⋅1(t)1∞jαt−jωt−stsL[cosωt]=(e+e)edt=∫2220s+ω机械工程控制基础第2章系统的数学模型3拉氏变换的性质（1）线性性质L[af(t)±bg(t)]=aF(s)±bG(s)ab——常数机械工程控制基础第2章系统的数学模型3拉氏变换的性质（2）微分性质L[f′(t)]=sF(s)−f(0)证明：∞−stL[f′(t)]=∫f′(t)edt0∞∞−st−st=f(t)e+s∫f(t)edt00=sF(s)−f(0)机械工程控制基础第2章系统的数学模型3拉氏变换的性质微分性质推论(n)nn−1n−2L[f(t)]=sF(s)−

7、sf(0)−sf′(0)−(n−2)(n−1)⋅⋅⋅−sf(0)−f(0)(n−1)特别在零初始条件下f(0)=f′(0)=⋅⋅⋅f(0)=0(n)nL[f(t)]=sF(s)机械工程控制基础第2章系统的数学模型例求幂函数mf(t)=t（其中m是正整数）的拉氏变换解：(m−1)f(0)=f′(0)=⋅⋅⋅f(0)=0(m)f(t)=m!(m)mm!L[f(t)]=sF(s)=smm!F(s)=L[t]=m+1s机械工程控制基础第2章系统的数学模型（3）积分性质t11tL[∫f(t)dt]=F(s)+∫f(t)dt00ss+t→