等腰三角形(复习教案）

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1、等腰三角形(复习教案）教学目标·知识与技能目标建立知识框架结构图，了解掌握等腰三角形知识。复习等腰三角形有关定理的探索与证明，证明的思路和方法。能利用等腰三角形的有关定理，证明线段相等、角相等及直线垂直等。·过程方法通过回顾有关定理的证明，进一步掌握综合法的证明法。提高学生用规定数学语言表达论证过程的能力。·情感态度价值观进一步体会证明的必要性，培养实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。教学重点：等腰三角形定理的应用。教学难点：证明的思路和方法。·教学流程本章知识结构二。典型例题【例1】如图所示，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，

2、DC=AC，求∠B的度数。ACBD思路点拨：只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程思想解题，列方程的依据是三角形的内角和定理。解：∵AB=CD（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）同理：∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA设∠B为X0，则∠C=X0，∠BAD=X0∴∠ADC=2X0，∠CAD=2X0在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=1800∴X+2X+2X=180∴X=36答：∠B的度数为360注：用代数方法解几何计算题常可使我们换翻为简。练习1：如图所示，在△ABC中，D是AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，若∠C=

3、290，则∠A=__＿ABDC123A练习2：如图在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数？BDC【例2】如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC。求证：AO⊥BC思路点拨：要证AO⊥BC，即证AOCOBAD是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证AO是顶角的平分线即可。证明：延长AO交BC于DAB=AC（已知）在△ABO和△ACO中OB=OC（已知）AO=AO（公共边）∴△ABO≌△ACO（SSS）∴∠BAO=∠CAO即∠BAD=∠CAD（全等三角形的对应角相等）∴AD⊥B

4、C，即AO⊥BC（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）评注：本题用两次全等也可达到目的.。A练习：如图所示，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE求证：BD=CECEDB【例3】求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。思路点拨：本题为文字题，文字题必须按下列步骤进行：（1）根据题意画出图形；（2）根据图形写出“已知”、“求证”；（3）写出证明过程。如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC边上任一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，作BE⊥AC于E。BCPMENQA求证：PM+PN=BE证明：作PQ⊥BE于

5、Q∵BE⊥AC，PN⊥AC，∴BE∥PN∵PQ⊥BE，AC⊥BE∴PQ∥NE。，∴QE=PN。∵AB=AC∴∠ABC=∠C∵PQ∥AC∴∠QPB=∠C∴∠ABC=∠QPB又∵∠PMB=∠BQP=900BP=PB，∴△PMB≌△BQP（AAS）∴PM=BQ∴PM+PN=BQ+QE=BE注：对文字题一定要逐字逐句地分析，画好图形，写出已知、求证，按步骤解题。练习：求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。【例4】已知如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC与E，并与CA的延长线相交于F，ABCDE12F求证：AD

6、=AF思路点拨：要证AD=AF，需证∠1=∠F，而∠1=∠2，∠2落在△BDE中，∠F落在△FEC中,因为DE⊥BC，所以它们都为直角三角形。∠F与∠2的余角分别为∠B与∠C,由已知可得∠B=∠C，因而结论成立。证明：在△ABC中∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）∵DE⊥BC∴∠DEB=∠DEC=900（垂直定义）∴∠2+∠B=900，∠F+∠C=900（直角三角形两锐角互余）∴∠2=∠F（等角的余角相等）∵∠1=∠2∴∠1=∠F（等量代换）∴AF=AD（等角对等边）ABDC注：要注意“两头凑”的分析方法。本题还可以“作AG⊥BC与G”，则AG∥F

7、E来证。练习1：如图AC=AD，∠C=∠D，C求证BC=BD（试不用三角形全等来证）练习2:如图，已知△ABC是等边三角形，点D.E分别在AC、BC上，且DE∥AB,DF⊥DE,交BC的延长线与点F.求证：CD=CFDFBECA【例5】如图所示，∠ABC，∠ACB的角平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。求证：BD+EC=DE思路点拨：由DE∥BC，得∠3=∠2∵∠1=∠2∴∠1=∠3A∴DB=DF，同理CE=EF。从而问题得证。EF3D1C2B证明：∵DE∥BC（已知）∴∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）又∵BF平分∠ABC（已知

8、）∴∠1=∠2（角平分线定义）∴∠1=∠3∴DB=DF（等角对等边）同理EF=CE∴BD+EC