2006年华南理工数学分析考研试题及解答

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1、华南理工大学2006年数学分析考研试题解答一.解设曾+麻-斥，“=乌3"+5”+7“,=亦一打TRJn+y[n+4nliman〃T8limbn=lim03“+5"+7"=7,11=±714”T8/7—aliman所以=ht8lim/?”HT8二•证明显然有x„>0,兀曲=工±4»弐巫二顶,2心2兀£+1一暫二尤+A2兀“A~Xn2©<0,E+i-£50,所以｛暫｝单调递减有下届，于是｛暫｝收敛,设limxn=a,a>[a,2贝!)有a=――—,a2=A,a—y/~A,2a故limxzj=JX・HT8三.证明(1)当Q=1时，显然成立；(2)当q>1时，对05兀51,显然有屮+(1—对tx+

2、(l—x)=l,设f(x)=xa+(l-x)/©)=-(1-兀)"")，f+=0,、乙丿当丄SS1时,有fx)>Q,/(x)在丄,1上单调递增;<2/当0S5丄时，有/©)50,/(兀)在0,-上单调递减；所以/(£)在兀=丄处达到最小值,/(%)>/—•22>故有缶Sh+(l-x)“Sl.(3)当Ovovl吋，对05M1,显然有产+(1—兀)"0兀+(1—兀)=1,设g(x)=f+(l一兀)“,gz(x)=-(1-兀)"］,f+=0,z丿当OvM丄时，有/(x)>0,g(兀)在0,-上单调递增；当丄Sxvl时，有/(x)<0,g(x)在*,1上单调递减；所以g⑴在x=

3、处达到最大值

4、，g(兀口故有1<屮+(1_劝“《土・四•证明由&(兀)在区间［处］上连续，存在M〉0,使得

5、S,(x)

6、

7、=VSn_t)dt<-^—Ja(/?—1)!从而&(兀)卜咼^“厂，⑺―1)!显然有£«=1M(—1)!于是zS”⑴在［。，列上一致收敛，｛s“(X)｝在区间［a,h］上一致收敛于0./:=1五.解由F(x+az,y+bz)=0,dz知订1+厝]+n碍=0,VoxJdxdx°z二F“dxaFu+hFvdz—字+n卜畤dyIdy丿dy0,dz代dyaFu+bF

8、v从而a—+b—=~]dxdy(甘)[左+止]Idxdy丿dxdy于是JIex2^y2={(x,y):兀2

9、-x4)tZx+<31)cos2xdx.(22丿（严、~匕・角军设/（兀）=€小_兀=兀1,I兀丿显然lim/（兀）=+°°,JVT+o©'7由于严＞0,所以在XG（-oo,0］±,有严＞兀，z（o）=i,r（x）=^-i,当兀°=-丄Ina时，yz（x）=0,a当G〉1时，Xo＜0,AqVXV+oo时，有.厂（兀）＞0,/（兀）在［心2）上严格单调递增，兀＞0时，/（x）＞/（0）=1,此时，eax=x无正实根;当Ovavl吋，兀（）＞0,/（兀）在［x（）,+oo）上严格单调递增，在［0,兀］上严格单调递减,a——In6?——InaIG几兀）在兀。处达到最小值,=_+_lna=_(l+

10、lna),aaa故当a=-时，/（xo）=O,/（x）有唯一的正实根；e当a＞-时,/（x）无正实根；e当0＜a＜-9/（x0）＜0,/（兀）有两个正实根。e八、设4＞0,方＞0・（1）如果/在［0,+oo）上连续，Hlim/（x）=/（+oo）存在，证明:r曲7叫=（/（0）-/（+呵）In厶Joxa（2）如果广在［0,+oo）上连续，且广卫2/兀收敛，证明：「/（以）—几叫=f（o）吐;JlXJo兀a（3）如果/在（0,+oo）上连续，lim/（x）=/（+oo）存在，且「购必收敛，X—＞+ooJo兀证明「迪二輕.Joxa（这里的三个积分公式，都称为傅茹兰尼公式・）证明（1）对任何〃＞0

11、,A＞0,血匕=『四心_(AfMdx=「叫-『叫»xjfjxx儿〃y如y=『〃空y+faA^dy,Ja〃yJbAy囂学y=/©J；知=/(^)ln-，其中§在。〃与b?7Z间;从而，当〃T(r时，「加dy趋于/(O)ln-；ady=/©『丄狞=-于(「)1上，其中了在o4与勿1之间,JhAya从而，于是,当At+oo时，lA^-dy趋于—/(+oo)ln2,ya当〃T0+,At+oo时，「fSS)d天趋于(