材料力学附录(截面特性)

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1、附录A平面图形的几何性质页码，1/14附录A平面图形的几何性质——材料力学教案学时2基静矩、矩形及相互关系，惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径，惯性矩与惯性积本的移轴公式和转轴公式，主轴与形心主内轴、主矩与形心主矩，组合图形的形心、形心主轴与形心主矩的计算方法。容教1、理解平面图形几何性质（形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性学积、主轴等）的概念。目2、能正确计算组合图形的形心、形心的主轴、形心主惯性矩。重重点：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等概念及其计点算。和难点：惯性矩与惯性积的转轴公式及主惯难性矩的计算。点教学以

2、常见的圆形、圆环、矩形、T形、常见型file://D:收藏专业相关附录A平面图形的几何性质.htm2005-8-23附录A平面图形的几何性质页码，2/14方法钢截面的组合圆形为主。作业附录A平面图形的几何性质§A-1引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的

3、物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。§A-2静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。在其上取面积微元dA，该微元在Oxy坐标系中的坐标为x、y。定义下列积分：（A-1）分别称为图形对于x轴和y轴的截面一次矩或静矩，其单位为。如果将dA视为垂直于图形平面的file://D:收藏专业相关附录A平面图形的几何性质.htm2005-8-23附录A平面图形的几何性质页码，3/14力，则ydA和zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩；和则分别为dA对z轴和y轴之矩。图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于图形平

4、面的力，则形心即为合力的作用点。设、为形心坐标，则根据合力之矩定理(A-2)或(A-3)这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直

5、接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。即:(A-4)file://D:收藏专业相关附录A平面图形的几何性质.htm2005-8-23附录A平面图形的几何性质页码，4/14(A-5)§A-3惯性炬、极惯性炬、惯性积、惯性半径图A-1中的任意图形，以及给定的Oxy坐标，定义下列积分：(A-6)(A-7)分别为图形对于x轴和y轴的截面二次轴矩或惯性矩。定义积分(A-8)为图形对于点O的截面二次极矩或极惯性矩。定义积分(A-9)为图形对于通过点O的一对坐

6、标轴x、y的惯性积。定义,分别为图形对于x轴和y轴的惯性半径。根据上述定义可知：file://D:收藏专业相关附录A平面图形的几何性质.htm2005-8-23附录A平面图形的几何性质页码，5/141.惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。三者的单位均为或。2.因为=+，所以由上述定义不难得出=+(A-10)3.根据极惯性矩的定义式(A-8)，以及图A-2中所示的微面积取法，不难得到圆截面对其中心的极惯性矩为(A-11)(A-12)式中,d为圆的直径；R为半径。类似地，还可以得圆环截面对于圆环中心的极惯

7、性矩为,(A-13)式中，D为圆环外径；d为内径。4.根据惯性矩的定义式(A-6)、(A-7)，注意微面积的取法(图A-3所示)，不难求得矩形对于平行其边界的轴的惯性矩：file://D:收藏专业相关附录A平面图形的几何性质.htm2005-8-23附录A平面图形的几何性质页码，6/14,(A-14)根据式(A-10)、(A-11)，注意到圆形对于通过其中心的任意两根轴具有相同的惯性矩，便可得到圆截面对于通过其中心的任意轴的惯性矩均为(A-15)对于外径为D、内径为d的圆环截面,(A-16)应用上述积分，还可以计算其他各种简单图形对于给定坐标

8、轴的惯性矩。必须指出，对于由简单几何图形组合成的图形，为避免复杂数学运算，一般都不采用积分的方法计算它们的惯性矩。而是利用