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《概率论与数理统计第二版6 西南财经大学出版社》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、概率论第六章习题解答习题6.11．求下列总体分布中参数的矩估计：⎧21,θθxx+−01≤≤,（1）fx(;)θ=⎨其中θ<1；⎩0,其他,x−1（2）f(x;p)=p(1−p)，x=1,2,…；其中00．12212⎪⎩0,其他,121θ32−θθ1211−θθ解：（1）因E()Xxx=+∫(2θθ1−)dxx=+=(x)+=+，有θ=6E(X)−3，03203226故θ的矩估计为θˆ=63X−；∞∞∞dd∞d⎛⎞q11xxxx−−11（2）因E()X=⋅−=⋅=∑∑xpp(1)pxqpqpqp∑
2、=∑=⎜⎟=p2=，xx==11x=1ddqqx=1dq⎝⎠1−q(1−q)p11故p=，p的矩估计为pˆ=；E()XX+∞x−θ1x−θ1x−θ1x−θ1−−−−+∞1θ2+∞www.khdaw.comθ2θ2+∞θ2（3）因(EX)=∫θx⋅edx=∫θx⋅(−)1de=−xe+∫θedx1θ112θ1+∞+∞x−θ1x−θ1−−=−xeθ2−θeθ2=θ+θ，212θ1θ1+∞x−θ1x−θ1x−θ1x−θ1−−−−2+∞21θ2+∞2θ22θ2+∞θ2且(EX)=∫θx⋅edx=∫θx⋅(−)1de=−xe+∫θe⋅2xdx1θ112课后答案网θ1+∞x−θ1x−θ1−−2θ2+∞1
3、θ2222=−xe+2θ2∫θx⋅edx=θ1+2θ2(EX)=θ1+2θ1θ2+2θ2，1θ2θ1222222则D(X)=(EX)−(E[X)]=θ1+2θ1θ2+2θ2−(θ1+θ2)=θ2，即θ2=D(X)，θ1=(EX)−D(X)，故θ1和θ2的矩估计为θˆ1=X−Sn，θˆ2=Sn．2．求下列总体分布中参数的极大似然估计：1x−1（1）f(x;θ)=θ(1−θ)，x=1,2,…；其中0<θ<1；xλ−λ（2）f(x;λ)=e，x=0,1,2,…；其中λ>0；x!(lnx−µ)21−2（3）f(x;µ,σ2)=e2σ，x=0；其中−∞<µ<+∞，σ>0．2πσxn∑xi−n解：（1）
4、L(θ)=f(x;θ)f(x;θ)?f(x;θ)=θ1(−θ)x1−1⋅θ1(−θ)x2−1?θ1(−θ)xn−1=θn1(−θ)i=1，12nndlnL(θ)1n−1n1即lnL(θ)=nlnθ+(∑xi−n)ln(1−θ)，令=n⋅+(∑xi−n)⋅=0，得θ=n=，i=1dθθi=11−θx∑xii=1故θ的极大似然估计为θˆ=1；Xn∑xiλx1λx2λxnλi=1−λ−λ−λ−nλ（2）L(λ)=f(x1;λ)f(x2;λ)?f(xn;λ)=e⋅e?e=e，x1!x2!xn!x1!x2!?xn!ndlnL(λ)n11n即lnL(λ)=∑xi⋅lnλ−ln(x1!x2!?xn)!−n
5、λ，令=∑xi⋅−n=0，得λ=∑xi=x，i=1dλi=1λni=1故λ的极大似然估计为λˆ=X；2222（3）L(µ,σ)=f(x1;µ,σ)f(x2;µ,σ)?f(xn;www.khdaw.comµ,σ)n(lnx−µ)2222∑i−(lnx1−µ)−(lnx2−µ)−(lnxn−µ)−i=112121212=e2σe2σ?e2σ=e2σ，n2πσx12πσx22πσxn(2πσ)x1x2?xnn2∑(lnxi−µ)即2n2i=1lnL(µ,σ)=−(ln2π+lnσ)−ln(x1x2?xn)−2，22σnn∂lnL(µ,σ2)∑2(lnxi−µ)⋅(−)1∑lnxi−nµ1n令i=1
6、i=10，得µ=∑lnx，=−==i22∂µ课后答案网2σσni=1n2∂lnL(µ,σ2)n1∑(lnxi−µ)1n再令=−⋅+i=1=0，得σ2=∑(lnx−µ)2，224ni∂σ2σ2σi=11n∧1n1n故µ和σ2的极大似然估计为µˆ=∑，2=∑−2lnXiσ(lnXi∑lnXi)．ni=1ni=1ni=13．设总体X的密度函数为⎧+θ<<(θ)1x,0x,1f(x;θ)=⎨⎩,0其他,求参数θ的极大似然估计与矩法估计，并看看它们是否一致？今获得样本观测值为0.4,0.7,0.27,0.55,20.68,0.31,0.45,0.83．试分别求θ的极大似然估计值与矩估计值．θθθnθ解
7、：因Lf()θθθθ==(;)(xfxf;)??(x;)(θθθθ+1)x⋅(+1)x(+1)x=(+1)(xxx?)，12nn1212ndln()Lθ1即lnL(θ)=nln(θ+1)+θln(x1x2…xn)，令=nx⋅+ln(12x?xn)=0，d1θθ+nn则θ=−−=−11−，nln(xx?x)12n∑lnxii=1故θ的极大似然估计为θˆ=−n−1；n∑lnXii=11θ+21θxθ+12E()1
