3 有限元分析矩阵 弹性力学基础

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1、3矩阵算法及弹性力学基础3.1矩阵算法3.2弹性力学基础3.1矩阵算法线性方程组的表示行向量和列向量矩阵加、减、乘法运算矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵矩阵行列式矩阵求逆线性方程组的表示求解方法：高斯消元法、迭代法行向量和列向量矩阵加、减、乘法运算矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵对称方阵矩阵行列式或奇异矩阵(方阵)矩阵的逆如果方阵A的行列式则其逆存在，记为A的伴随矩阵线性方程组的求解，变为对于：求解系数矩阵的逆矩阵3.2弹性力学基础关于弹性力学五个基本假定外力和内力应力、应变、位移弹性力学的基本方程

2、虚功原理关于弹性力学弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下内力和变形分布规律的一门学科。力学学科各分支的关系力学学科研究对象特征中学力学质点无变形理论力学质点系及刚体无变形材料力学简单变形体(构件)小变形结构力学数量众多的简单变形体小变形弹性力学任意变形体小变形弹塑性力学任意变形体任意变形五个基本假定连续性：无空隙，能用连续函数描述均匀性：各个位置物质特性相同各向同性：同一位置的物质各个方向上具有相同特性线弹性：变形和外力的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状小变形：变形远小于物体的几何尺寸，建

3、立基本方程时可以忽略高阶小量。外力和内力体力—分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。面力—分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。分布力：连续分布在表面某一范围内集中力：分布力的作用面积很小时的简化内力—外力作用下，物体内部相连各部分之间产生的相互作用力。位移、应力、应变对变形体受力和变形进行描述的基本变量位移——物体变形后的形状应力——物体的受力状态应变——物体的变形程度位移位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示。Tuvw应力

4、—物体内某一点的内力F3应力S在其作用截面上的法向分量为正应力σ，切向分量称为剪应力，用τF2表示。F1QlimSA0A应力—物体内某一点的内力NANsinsinANsincosA点p在不同截面上的应力是不同的。用无穷小平行六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。一点的应力状态无穷小正六面体,六面体的各棱边边平行于坐标轴一点的应力状态物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量来表示：xxyxzyxyyz其中，只有6个量独立。zxzy

5、z剪应力互等,,xyyxyzzyzxxz应变物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表示。两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用γ表示。dudLdLdL+du与应力的定义类似，物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表示：、、、、、xyzxyyzzx弹性力学的基本方程1.位移和应变之间的几何关系（几何变形方程）位移分量矩阵表达式：TuvwT应变分量矩阵表达式：xyzxyyzzx

6、uxxvyywzz应变分量与位移分量之间的关系：uvxyyxuwyzxyuuzxxz弹性力学的基本方程2.应变和应力之间的弹性方程（材料的物理方程）T应力分量矩阵表达式：xyzxyyzzx1xxyzE1yyxzE1zzxy应变和应力的相互换算：E1xyxyG1yzyzG1zxzx

7、GE剪切弹性模量和弹性模量之间的关系：G21弹性力学的基本方程3.应力与外力之间的平衡方程（力的平衡方程）根据力的平衡条件：xyxzxFxpx0xyzxyyzyFypy0xyzxzyzzFzpz0xyz剪应力互等：xyyx,yzzy,zxxz虚功原理功是力和力作用点处沿力方向位移的乘积。*力或应力在它本身引起的真实位移或应变上做的功为实功；*力或应力在其它某种原因引起的微小可能的位

8、移或应变上做功，则称为虚功；*这种任意的无限微小的可能位移完全可以是虚拟的，称为虚位移。虚功原理1一个质点WFrFriiir如果n个力作用下质点处于平衡状态，则在该点经过任意虚位移后，这些力做的总虚功为0。（虚位移原理、虚功原理）WWiF1rrF2rrFirr0虚功原理2弹性体*任何物体可以看成一个质点系