材料力学——第5章(扭转杆件的强度与刚度计算)

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1、§5–1圆轴扭转时的应力和变形计算§5–2圆轴扭转时的强度和刚度计算§5–3矩形截面杆在自由扭转时简介1§5-1圆轴扭转时的应力和变形计算一、圆轴扭转时的应力①变形几何方面等直圆杆横截面应力②物理关系方面③静力学方面⒈实验观察⑴横截面变形后仍为平面；⑵轴向无伸缩；⑶纵向线变形后仍为平行。23⒉应力公式推导⑴变形几何关系GGdtg1dxdxddxRd最外层的切应变dx距圆心为任一点处的与该点到圆心的距离成正比。d——扭转角沿长度方向变化率。dx4⑵物理关系—剪切胡克定律d

2、dx当切应力不超过材料的剪切比例极限τ时，切应力与p切应变成正比关系。GG—材料的切变模量对于各向同性的线弹性材料，可以证明，三个材料常数之间有如下关系：EG2(1)5d把代入G中，得dxddGGGdxdxdGdx6⑶静力学关系dGdAdxτpdTdA2AGdAAdxOd2GdAAdx2令IpAdAIp—圆截面对圆心的极惯性矩ddTTGIpdxdxGIpT代入物理关系式Gd得：

3、dxIp7T—横截面上距圆心为处任一点切应力计算公Ip式。⑷公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。—该点到圆心的距离。I—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。p82单位：mm4，m4。IdApA③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是I值不同。pa.对于实心圆截面：d2IdApADOD222d04D40.1D329b.对于空心圆截面：d2IdApAD22d

4、2ddD2O44(Dd)324D444(1)0.1D(1)32d()D10④应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。11⑤确定最大切应力TD由知：当R,maxI2pDT2TTD(令WI)maxDPpIW2pIPp2TW—扭转截面系数（抗扭截面模量），PmaxW33P几何量，单位：mm或m。3对于实心圆截面：WIRD16Pp34对于空心圆截面：WIRD(1)16Pp12三、

5、薄壁圆管的扭转切应力1薄壁圆筒：壁厚R（R0为平均半径）010其扭转切应力可按空心圆轴进行计算，由于管壁较薄，切应力可认为沿壁厚均匀分布。由静力关系得dARTA0RdAR2RT0A00TT22R2AR00A—平均半径所作圆的面积。013四、切应力互等定理mz0(dxdz)dy(dydz)dx故上式称为切应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。

6、该定理不仅对纯剪应力状态成立，而且对非纯剪应力14状态也成立。15五、扭转圆轴的变形计算dT由公式dxGIp知：长为l一段杆两截面间相对扭转角为lTddxl0GI—的正负号与扭矩相pTl同单位：rad(若T值不变）GIpGI—圆轴的扭转刚度P当用同一材料制成圆轴各段扭矩不同或各段直径不同时，应用上式分段计算各段扭转角，然后按代数值相加。16当用同一材料制成圆轴各段扭矩不同或各段直径不同时，应用上式分段计算各段扭转角，然后按代数值相加。TdxliGIPTliiGIPi17[例5-1]一钢制圆

7、轴受力如图所示，其直径D=100mm，AC段为实心轴，ＣＤ段为空心轴，内径d=50mm。两段的材料相同，其切变模量Ｇ=80GPa，试求：⑴实心轴的最大切应力和空心轴的最大、最小的切应力；⑵Ｄ截面相对于Ａ截面的扭转角AD。10kNm15kNm5kNm解：⑴作圆轴的扭矩图，Dd如图所示。ABCD1m1m1m10kNm⊕CADT图B185kNm10kNm15kNm5kNm⑵计算各段的I和WPPDd对于AC段ABCD434D3.14(10010)I1m1m1mP1323210kNm649.821

8、0m⊕CADT图333ID(10010)BWP1P15kNmR1616431.9610m19d对于CD段，0.5D4D46464I(1)9.8210(10.5)9.2110mP232I3DP244443W(1)1.96