概率论习题解法探讨_对称性的运用

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1、兰州商学院学报综合版年第期总第期概率论习题解法探讨一一对称性的运用李伯德马育英。古典概塑与几何慨塑是古型概率论中最基本的两个模型由于古典概型的问题中大量应,,排列组合方法而排列组合的灵活性相当大因此主要也在这里给学生开始造成概效论习。,题难做的印象我认为在教学中首先应注意不能大量运用只是单纯计算排列组合的习题不能使重在掌握排列组合的计算技巧超过重在掌握概率论的基本概念其次在解题时对概率论,,,性质的运用要给予充分的注意要注意概率论本身的特点若注意了这点对有些问题复杂。“”,的排列组合是可以避免的本文仅就对称性的运用作一介绍通过下面的例子我们将会,,,。看

2、到由于巧妙地运用了对称性使问题迎刃而解从而避免了冗长的计算,。例设掷次均匀硬币求出现正面的次数多于反面的次数的概率“”、“解用表示出现正面的次数多于反面的次数表示出现反面的次数多于正面的次数”。,,当为奇数时由于出现的正面次数与反面次数不会相等因此对于与的逆事件,、,二二一来说由于正反地位对称因此由对称性可知一’‘’‘’‘’’’一’’’妻‘一一一一一一一”一一”一一一”,,当为偶数时出现的正面次数与反面次数可能相等而显然相等的概率为五一于是可得一二再利用对称性、,,、一就叫鼻得尸,二一舀弓‘日、、,,,“例甲乙两人掷均匀硬币其中甲掷次乙掷次求甲掷出正面的

3、次数”。大于乙掷出正面的次数这一事件的概率,解令甲正甲掷出的正面次数乙,正乙掷出的正面次数二,甲反甲掷出的反而次数乙,、勺反乙掷出的反面次数,于是所求事件的概率为甲正乙正一而显然有甲正乙正甲正三乙正甲反乙反,因为硬币是均匀的所以由对称性知甲正乙正甲反乙反。二一一故甲正乙正、·一要一,,例对夫妇任意地排成一列求每一位丈夫都排在他的妻子后面的概率“”,解用表示事件第对夫妇丈夫排在妻子的后面本题就是要求概率。,⋯,由对““性“。”‘,二一一因为对每一对夫妇来”色或丈夫在奋,。,,,,前或妻子在前两者是等可能的由对称性还可进一步断定⋯是相互独立的因为不可能有任何

4、理由断定某对夫妇丈夫与妻子的位置的先后会影响别对夫妇丈夫与妻子位,置的先后所以根据独立性有·,⋯,·八””》一匕,,,⋯,,也许有的读者对相互独立的这一事实不大理解那么我们就用排列,。,组合来直接计算尽管用排列组合计算比较困难引卜列的总数为而有利场合的。,,,个数可以这样来计算首先把位丈夫进行排列共有种可能然后让排在第一的那,,位丈夫的妻子进人队伍她显然只有种可能的位置即排在最前面接着让排在第二位的,,丈夫的妻子进入队伍现在她的丈夫之前已有两人因此她有种位置可选择排在第三位,,一的丈夫的妻子进人队伍有种位置可选择以此下去最后那位丈夫的妻子有,···个位置

5、可选择因此有利场合数是〔”二一〕二一所以本题所求的概率为一,,。与前面的结果完全一致然而这种做法的思路确实是难以想到的而且计算又复杂第,,。一种做法充分利用了概率论的概念从而计算简单显然比后一种解法优越得多,,,例一副纸牌共有张其中有三张随机地洗牌然后从顶上开始一张接一张地,,。翻牌直至翻到出现第二张为止求翻过的纸牌数的平均值,,解法一用言记翻过的纸牌数本题就是要求言的数学期望言下而先求言的分布列。言,,二排列的总数为有利场合数可以这样来计算注意到言表示直到翻到第二张出,一,一现为止共翻了张牌所以第一张有个位置可取第三张有个位,,一,置可取而张可任意变换

6、张非也可任意变换所以言二二一一一一句一一一三三一一一二二所以考习言一,上式的计算过程比较繁我们分两步计算玲习一一川为‘··一⋯一一十一十一》··一一十⋯。·“十·“一一一〔十一〕“一·〔一一卜十十⋯一〕“十“十·十一“一“一一“一一一“一〔十“名⋯〕一一一一一一一卜丁一卜一一二一一一一一一所以言一一一一一——一,。上述解法比较繁下面利用对称性介绍一种简单的解法,,解法二假设从底里开始一张接一张地翻牌也翻到出现第二张为止翻过的纸牌数。,,记为由对称性知从顶上开始翻与从底里开始翻情况是一样的因此随机变量言与即的分,。,十二布完全是一致的因而有相同的平均值但由

7、于言故言一,,上述解法固然简单但有其局限性因为它利用了从顶上开始翻与从底里开始翻到第二。张是同一张牌如果要求翻到第一张出现为止或第三张出现为止翻过的纸牌数的平均,。,。依上述方法就失效了因此在这里介绍另一种解法它没有这种局限性,。解法三设想把纸牌一张接一张翻到底把纸牌作全排列这样三张就把整个排列分,“,害成了四段记若第一张之前的纸牌数二,言第一张与第二张之间的纸牌数。二,言第二张与第三张之间的纸牌数‘二。言第三张之后的纸牌数,,,,四个由于每种排列是等可能的三张的分布是均匀的因此由对称性知随机变量,,。‘,,十十‘言若言与套应该有相同的分布从而有相同的平

8、均值但由于若考言若一一,二。所以言考参言二,十十现在古占考十,十十所以本题所求的