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1、探讨函数的对称性宜城三中官雄平齐国辉函数既是中学数学骨干知识的交汇点，又是数学思想方法的综合点，还是初等数学与高等数学的衔接点。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，其中包括函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面，下面我们就这两个方面进行探究.首先我们来看几个重要结论:①若恒成立,则y=f(x)的图像关于对称;②y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于对称;③若函数y=f(x)的图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(),则y=f(x)是周期函数,且是y=f(x)的一个周期;④若函数y=f(x)图
2、像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(),则y=f(x)是周期函数,且是y=f(x)的一个周期;⑤若函数y=f(x)图像关于点A(a,c)成中心对称,又关于直线x=b成轴对称(),则y=f(x)是周期函数,且是y=f(x)的一个周期.一、函数自身的对称性定理1.函数y=f(x)的图像关于点A（a,b）对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b原理:证明函数图像的对称性,即证明图像上的任意一点关于对称中心(或轴)的对称点仍在图像上.证明：（必要性）设点P（x,y）是y=f(x)图像上任一点，点P（x,y）关于点A（a,b）的对称点（2a-x.2b-y
3、）也在y=f(x)图像上，2b-y=f(2a-x)即y+f(2a-x)=2b,故f(x)+f(2a-x)=2b，必要性得证。（充分性）设点P（）是y=f(x)图像上任一点，则。即故点也在y=f(x)图像上，而点P与点关于点A（a,b）对称，充分性得证。推论：函数y=f(x)图像关于原点O（0，0）对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0定理2.函数y=f(x)图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)(证明留给读者)推论:函数y=f(x)图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x)定理3.①若函数y=f(x)
4、的图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(),则y=f(x)是周期函数,且是y=f(x)的一个周期.(证明留给读者)②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(),则y=f(x)是周期函数,且是y=f(x)的一个周期.证明:由定理2知,函数y=f(x)图像关于直线x=a和直线x=b成轴对称(),则有和即和,用代替x.得即,是函数y=f(x)的一个周期.③若函数y=f(x)图像关于点A(a,c)成中心对称,又关于直线x=b成轴对称(),则y=f(x)是周期函数,且是y=f(x)的一个周期.证明:y=f(x)图像关于点A(a,
5、c)成中心对称,,用2b-x代替x得:,又函数y=f(x)图像关于直线x=b成轴对称,代入(*)得:,用2(a-b)+x代替x得代入(**)得:,故y=f(x)是周期函数,且是y=f(x)的一个周期.二.不同函数对称性的探究原理:证明曲线与的对称性，即要证明上的任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点在上，反之亦然。定理5。①函数y=f(x)与y=f(2a-x)图像关于直线x=a成轴对称.②函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称.③函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称.定理4与定理5中的①②证
6、明留给读者,现在证明定理5中的③.证明:设点是y=f(x)图像上任一点,则.记点P(x,y)关于直线x-y=a的轴对称点为,则,代入之中得:,点在函数的图像上.同理可证:函数的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f(x)图像上.故定理5中的③成立.推论:函数y=f(x)的图像与x=f(y)图像关于直线x=y成轴对称.(反函数定义)
