张奠宙数学解题错误分类例析

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1、数学解题错吴分类例析张奠宙本文谈解题错误分析中的两个主要问题：错误的类型和分析的做法，并辅以案例来做具体的说明。一、解题错误的主要类型有一种简单化的认识，以为错误都是知识不过关造成的，其实，解题错误的类型不止一个，在知识过关的情况下也会出现差错。既然成功的解题有知识因素，能力因素，经验因素和情感因素，那么不成功或失败的解题也会与这些因素相关，我们总结为：知识性错误，逻辑性错误，策略性错误，心理性错误。1.知识性错误知识性错误主要指由于数学知识上的缺陷所造成的错误。如误解题意、概念不清、记错法则、用错定理，不考虑范围使用方法等。核心是所涉及的内容是否符合数学事实。例1能与数轴上的点构成一一对应

2、的数集是（）。（单项选择题）Ao整数集B.有理数集Co无理数集D.实数集解：因为实数与数轴上的点构成一一对应，所以选D。评析：这正是命题者的预设答案，但是命题者忘了，无理数集与实数集之间存在一一对应关系，这是无穷集合的特性：本身可以与其真子集一一对应（尽管中学生不太清楚这一点），所以，无理数集也能与数轴上的点构成一一对应，选择C、D都成立。这样一来，题冃又与单项选择题“有且只有一项止确”矛盾。在这里既有错解又有错题，既有知识缺陷又有逻辑矛盾，但最根本的还是知识问题，由知识性错误导致命题的逻辑性错误。例2把一个边长为1的正方形分割成面积相等的4部分，使得其中的一部分内存在3个点，以它们为顶点可

3、以组成一个边长大于1的等边三角形，满足上述性质的分割为（）。A.不存在B.恰有一种C.有大于1的有限多种D.有无限多种解法1：假设存在边长大于1的等边三角形，则等边三角形所在部分的面积大于,又4部分面积相等，其总和大于，超过了正方形的面积，这是不可能的，故选A。评析：从解答的书写看，方向明确，推理严谨，应是无懈可击的。但真正的答案却为D。错误的原因是误解题意了，题冃只要求三角形的“顶点”属于同一部分，并不要求三角形的全体属于同一部分，甚至还不要求每一部分都是连通的。解法1默认了三角形的全体属于同一部分，得出“等边三角形所在部分的面积大于”不对。在性质上，首先是知识性错误，同吋也有心理性错误。

4、图1解法2：如图1,先在单位正方形ABCD内作一个等边APAB,然后分别以A、B为顶点作一个边长为的正方形，再居中作一个包括点P的边长为的正方形，以这三个阴影止方形组成的一部分，面积恰为。以止方形的中心0为旋转中心，将阴影正方形旋转180暗眉呛盼涼的正方形组成分割的第二部分。剩余部分亦保持中心对称的特征，过0任作一条直线1平分剩余部分，这就把“正方形分割成而积相等的4部分”，在三个阴影正方形内可以分别取3点，使组成一个边长大于1的等边三角形。由直线1的任意性知，这样的分割有无限多种，故选D。1.逻辑性错误逻辑性错误主要指由于违反逻辑规则所产生的推理上或论证上的错误。如虚假论据，不能推岀，偷换

5、概念，循环论证等，常常表现为四种命题的混淆，充要条件的错乱，反证法反设不真等。核心是所进行的推理论证是否符合逻辑规则。知识性错误与逻辑性错误既有联系又有区别。(1)知识性错误与逻辑性错误有联系。由于数学知识与逻辑规则常常是相依共存的，从广义上说，我们也不能把逻辑知识排除在数学知识之外，所以，逻辑性错误与知识性错误经常同时存在，从哪个角度进行分析取决于比重的大小与教学的需要。在上面的例了中我们已经看到，当我们说它有知识性错误时并不排除它也有逻辑性错误；同样，当我们说它有逻辑性错误时也不排除它还有知识性错误。(2)知识性错误与逻辑性错误乂有区别。知识性错误主要指涉及的命题是否符合事实(是否符合定

6、义、法则、定理等)，核心是命题的真假性；逻辑性错误主要指所进行的推理论证是否符合逻辑规则,核心是推理论证的有效性。虽然，数学命题的事实真假性与推理论证的逻辑有效性是有联系的，但是数学毕竟不是逻辑，数学毕竟比逻辑大得多，我们依然应该在知识盲点的基本位置和主要趋势上区分知识性错误与逻辑性错误。评析：这是1990年全国初屮数学联赛题（有课本的背景），一开始给出的答案正是B,相对于图2没有任何知识错误，但是这个结论默认了“点D在BC内”。如图3,当“点D在BC外”时，则有ZBAC<90就对了。此处，由于默认“点D在BC内”得出了一个假命题，当然有知识性错误；分类不全又有逻辑性错误；而“默认”本身还可

7、能有心理原因一一潜在假设，但从错误的基本位置上看，主要还是分类不全造成的，吸取的主要教训也应该是：注意三角形的垂足可以在边上、也可以在边的延长线上。例4在四边形ABCD中，AB大于其余三边，BC小于其余三边，则ZBAD、ZBCD的关系为（）。A.ZBADZBCDD.不能确定图4图5解法2：如图6,取一个平行四边形ABCD,使ACBD为等腰直角三角形，作ACBD的外