数学解题错误分类例析

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1、数学解题错误分类例析　　【摘要】数学解题错误是学生在数学学习过程中的普遍性行为。本文旨在通过对错误进行合理分类，从心理上、知识上、逻辑上和策略上等进行系列分析，精确归因，从而有的放矢，既为教师提供可靠的教学反馈，以便适时调整教学方案；又可提升学生自我纠错能力，并获得有益的心理发展。　　【关键词】解题错误认知结构策略性错误等价转换正难则反　　【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2014）03-0130-02　　对于数学习题来说，虽然一些探索性或开放性的问题解决不能依靠固定的模式，但解题策略的确定，依然是问题解决顺利进行的先决条件。一个数学问题的解决，可采用的

2、策略一定是多种多样的，但一个好的策略不仅可以使解题的过程简洁明快，而且决定着问题的最终解决。而不合理的策略可以产生错误导向，从而使问题不能得解；或者，策略的选择增加了求解过程的难度或长度，在思维与时间上造成浪费。比如，数学家西蒙曾研究过解决“河内塔问题”的四种不同策略：目标递归、知觉策略、模式和机械记忆策略，并做过非常精彩的比较。笔者结合教学实际，通过实例对策略性错误进行详细分析。　　一、缺乏整体概念　　例1.（1）已知a，b均为正数，且有a+2b=1，求■+■的最小值。　　（2）已知x>0，y>0，且x+y+■+■=10，求x+y的最大值。　　事实上，问（1）是问（2）的铺垫，学生对问（1）

3、的充分理解有益于确立问（2）的解题模式，这实质上思维的迁移。但教学中绝大多数学生对问（2）一筹莫展，或者通过变元转化为函数问题而陷入繁琐冗长的计算之中。正确的策略是：（1）■+■=（■+■）（a+2b）=■+■+3≥2■+3=2■+3，当且仅当a2=2b2时，取最小值。（2）令x+y=t>0，则x+y+■+■=10可化为t+■（■+■）（x+y）=10，即10=t+■（■+■+10）≥t+■？圯t2-10t+16≤0？圯2≤t≤8，故x+y的最大值是8。选对策略，问题简洁明快，而不能快速求解的原因则是由于缺乏整体概念造成策略性失误或错解。　　二、模式识别有误　　数学家与心理学家早在20世纪50

4、年代起，以信息加工观点对学生解决问题的过程进行了系列研究，认为学生所面临的大多数问题是通过模式识别来解决的。所以，从根本上看，良好的问题储备对模式辨认有着非常重要的意义。“辨认的正确与否决定着所提取的方法合适与否，从而也就决定着解题结果的正确与否。”　　例2.人教版必修二P110B组第8题：已知0

5、表示一个矩形区域，A（1，0），B（0，1），C（1，1），P（x，y）。而欲证不等式的左边分别表示四个距离，结合图形，把要证的不等式转化为PO+PC+PB+PA≥AB+OC，问题迎刃而解。　　再比如，学生对于恒成立问题与有解问题经常分不清，表面上看似知识性错误，但错误的背后实质有模式识别的成份――这是从记忆存贮中提取的过程。　　例3.（1）若x-1+x+2>a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是________。　　（2）若不等式x+1-x-2>a在x∈R上有解，则a的取值范围是________。　　这两个不等式的左侧部分可以看成关于x的分段函数，利用数形结合找到最值；或者利用三角不等式a-

6、b≤a+b≤a+b求最值。（1）的正确答案应该是a<（x-1+x+2min=3；（2）的正确答案是a<（x+1-x-2max=3。　　例4.不等式（x-1）（■+1）+（2x-3）（■+1）>0的解集是________。　　此问题依然会被学生当成一般不等式求解问题，或者从形式上被吓倒而无法做到本质抽象，这是典型的模式识别有误。分别对两个根式进行变形：（x-1）（■+1），（2x-3）（■+1），两式结构完全相同，故构造函数f（x）=x（■+1），不难证明f（x）为奇函数且为增函数，原不等式化为f（x-1）+f（2x-3）>0？圯f（x-1）>f（3-2x）？圯x-1>2x-3？圯x<2。　　该

7、问题的考点组合与模式构造，可谓精彩。　　三、不能成功转化　　这类策略性错误并非学生不懂相关的知识点，而是由于思维广阔性与深刻性的局限，不能把这些单点知识或问题有机联系起来，从而不能把问题成功转化为新的形式，以期达到简单化、熟悉化的目的。　　例5.教材中介绍对数运算时对公式loga（MN）=logaM+logaN给出了证明，并说明同理可证loga■=logaM-logaN。　　学生在应用及记忆公式的