15年高考真题——理科数学(湖北卷)

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1、2015年高考真题理科数学（解析版）湖北卷2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．为虚数单位，（）（A）（B）（C）1（D）2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）（A）134石（B）169石（C）338石（D）1365石3．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）（A）（B）（C）（D）4．设，，这两个正态分布密度曲

2、线如图所示，下列结论中正确的是（）（A）（B）（C）对任意正数，（D）对任意正数，5．设，，若：成等比数列；：，则（）（A）是的充分条件，但不是的必要条件（B）是的必要条件，但不是的充分条件（C）是的充分必要条件（D）既不是的充分条件，也不是的必要条件6．已知符号函数，是上的增函数，，其中，则（）（A）（B）（C）（D）9/92015年高考真题理科数学（解析版）湖北卷7．在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（）（A）（B）（C）（D）8．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）（A）对任意的，（B）当时，

3、；当时，（C）对任意的，（D）当时，；当时，9．设集合，，定义集合，则中元素的个数为（）（A）77（B）49（C）45（D）3010．设，表示不超过的最大整数。若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（）（A）3（B）4（C）5（D）6二．填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。（一）必考题11．已知向量，，则。12．函数的零点个数为。13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高

4、度。14．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在9/92015年高考真题理科数学（解析版）湖北卷的上方），且。⑴圆的标准方程为；⑵过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；②；③。其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）。（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑。如果全选，则按第15题作答结果计分）15．如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，且，则。16．在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），与相交于两点，则。三．解答题：本大题共6

5、小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。005017．（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表。⑴请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；⑵将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象。若图象的一个对称中心为，求的最小值。18．（本小题满分12分）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为。已知，，，。⑴求数列、的通项公式；⑵9/92015年高考真题理科数学（解析版）湖北卷当时，记，求数列的前项和。19．(本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称

6、之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接。⑴证明：平面，试判断四面体是否为鳖臑。若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；⑵若面与面所成二面角的大小为，求的值。20．（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品。生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶吨，使用设备小时，获利1200元。要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时。假定每天可获取的鲜牛奶数量（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为如右表所示。该厂每天根据获取

7、的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量。⑴求的分布列和均值；⑵若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率。12151821．（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示。是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，。当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖