06-07量子力学试卷解答(b)

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1、北京交通大学2006-2007学年第二学期《量子力学》期末考试试卷（B）学院__理学院___专业___光信息科学与技术__班级____________学号_______________姓名_____________题号一二三四五总分得分阅卷人一．完成下列填空题（共50分）：1．（6分）设一粒子在球面上运动，它处于状态。则在区间中测得粒子的概率；在（）区间中测得粒子的概率为。2.（5分）一维d(x)势，写出x=0处波函数及其导数的连接条件：，。3．（5分）放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，可

2、以解释此现象的量子效应是势垒穿透效应。4.（5分）费米黄金规则（Goldrule）公式为；其中各项意义解释为Wtot为总跃迁率，为从初态

3、i>到末态

4、f>的微扰矩阵元，r(ei)为初态附近的能量密度。第5页共5页5．（9分）一维谐振子，能量、动量和宇称三个量中，守恒的是：能量和宇称，理由是，；不守恒的是动量，理由是；能量和动量是否能同时测得确定值？不能（因为）。6.（20分）自由粒子t=0处于状态，写出t时刻粒子的状态=，粒子不是（填：是/否）处于定态；动量测值/概率分别为：，动量平均值0；能量测值/概率分别为：，能

5、量平均值。二．（15分）质量为m自旋为½的二全同粒子，同处于宽为a的无限深势阱中。略去二粒子间相互作用，求体系能量本征值和本征函数，并指出最低两个能级的简并度。解：，故可以分离变量：，其中空间部分满足单粒子本征值方程：第5页共5页即：代入边界条件：A，B有非平庸解（A，B不同时为0）的条件为其系数行列式为0：，即：，或：得：，且：归一化：基态：，空间部分态为对称的，自旋为反对称单态：为单态；简并度=1；第5页共5页第一激发态：，空间部分态为对称态时，自旋为反对称单态：空间部分态为反对称态时，自旋为对称三重态：故简并度

6、=4。三．（10分）证明:Hermite(厄米)算符的本征值为实数。证明：设为厄米算符F的属于不同本征值的本征函数，于是：，取共轭：于是：（1）另一方面，注意F是厄米算符：（2）比较，即得：//四．（10分）证明：，式中sx为描写电子自旋的泡利矩阵。证明：法1：由泰勒展开由于sx2=1，n为偶数时sxn=1//第5页共5页法2：设,则，注意到，有，方程的解为：，带入和，得A=1,,于是，//五．（15分）一体系由两个全同粒子组成,粒子之间无相互作用，单粒子可能的归一化态函数共三个j1,j2,j3。试分别就该全同粒子的

7、自旋为和两种情况，写出体系所有独立的归一化态函数。解：自旋为时，为反对称态，有3个：，，自旋为时，反对称态，有6个：j1(1)j1(2),j2(1)j2(2),j3(1)j3(2)；，,第5页共5页