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《专题16圆锥曲线的综合问题-2018年高考数学（理）备考易错点专项复习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、1．(2017·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．解析：(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝.所以抛物线C的方程为y2＝x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.因为y1＋－2x1＝＝＝＝＝0，所以y1＋＝2x1，故A为线段BM的中点．2．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0
2、)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝.由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，
3、圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2＝.3．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：y＝k1x－交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2＝.M是线段OC延长线上一点，且
4、MC
5、∶
6、AB
7、＝2∶3，⊙M的半径为
8、MC
9、，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最
10、大值时直线l的斜率．解析：(1)由题意知e＝＝，2c＝2，所以a＝，b＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得(4k＋2)x2－4k1x－1＝0.由题意知Δ＞0，且x1＋x2＝，x1x2＝－，所以
11、AB
12、＝
13、x1－x2
14、＝.由题意可知圆M的半径r为r＝
15、AB
16、＝.由题设知k1k2＝，所以k2＝，因此直线OC的方程为y＝x.联立方程得x2＝，y2＝，因此
17、OC
18、＝＝.由题意可知sin＝＝，而＝＝，令t＝1＋2k，则t＞1，∈(0,1)，因此＝＝＝≥1，当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时k1＝±，所以sin≤，因此
19、≤，所以∠SOT的最大值为.综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1＝±.4．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(－2,0)，点B(2，)在椭圆C上，直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，因为椭圆的左焦点为F1(－2,0)，所以a2－b2＝4.①因为点B(2，)在椭圆C上，所以
20、＋＝1.②由①②解得，a＝2，b＝2.所以椭圆C的方程为＋＝1.因为直线AE与y轴交于点M，令x＝0得y＝，即点M.同理可得点N(0，)．假设在x轴上存在点P(t,0)，使得∠MPN为直角，则·＝0.即t2＋×＝0，即t2－4＝0，解得t＝2或t＝－2.故存在点P(2,0)或P(－2,0)，无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．方法二 因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为(－2，0)．因为直线y＝kx(k≠0)与椭圆＋＝1交于两点E，F，设点E(x0，y0)，则点F(－x0，－y0)．所以直线AE的方程为y＝(x＋2)．因为直线AE与y轴交于点M，令x＝
21、0得y＝，即点M.同理可得点N.假设在x轴上存在点P(t,0)，使得∠MPN为直角，则·＝0.即t2＋×＝0，即t2＋＝0.因为点E(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，即y＝.将y＝代入得t2－4＝0.解得t＝2或t＝－2.故存在点P(2,0)或P(－2,0)，无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．5．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明
22、EA
23、＋
24、EB
25、为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与
26、l垂直的直线与圆A交于P
