巧用区域类型求边缘概率和条件概率

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1、第32卷第9期成都师范学院学报2016年9月Vo1．32JOURNALOFCHENGDUNORMALUNIVERSITYSep．2016巧用区域类型求边缘概率和条件概率李佳，邓有莲((江西师范大学a．计算机信息工程学院；b．数学与信息科学学院，南昌330022)摘要：利用《高等数学》中积分区域类型的方法求解《概率统计》中的边缘概率和条件概率可以取得事半功倍的效果，学生再也不会求错变量范围。文章将这个方便、简单的方法介绍给广大读者。关键词：区域类型；边缘概率；条件概率doi：10．3969／j．issn．2095—5642．2016．09．117中图分类号：O211文献标志码：A文章编号：2

2、095-5642(2016)09-0117-040弓l言笔者发现在《概率统计》中求二维连续型随机变量的边缘概率密度和条件概率密度时学生经常会写错变量范围，且求解过程非常繁琐．在多年的教学过程中我们发现：如果利用《高等数学》中积分区域的类型来求解二维连续型随机变量的边缘概率密度和条件概率密度会取得事半功倍的效果，而且学生一定不会写错变量范围。】区域类型⋯区域类型分为x型、Y型和混合型。x型区域D的特点是：穿过D内部且平行于Y轴的直线与D的边界相交不多于两点，则区域D可以用不等式：{L‘D1(I，，，‘p，()，表示；Y型区域D的特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点，则

3、区域D可以用不等式。：{()，)a

4、)为(x，Y)关于Y的边缘概率密度。方法：从定义可以看出在求边缘概率密度的时候是需要积分的，如果联合概率，Y)是分段函数，则需要利用积分区间的可加性进行求解，但是又考虑到如果被积函数为零，则积分值也为零，所以，我们应该重点关心联合概率密度不为零的区域．事实上，求x的边缘概率密度^()只需在做题的时候把联合概率密度不收稿日期：2016-04-01作者简介：李佳(1979一)，女，江西南昌人，讲师，硕士，研究方向：计算机辅助教学和心理测量方面的研究；邓有莲(1979一)，女，江西泰和人，讲师，硕士，研究方向：计算机应用。117成都师范学院学报2016年9月为零的区域写成x型区域，对Y积分时，直

5、接代入Y的范围，在积分完成后，后面直接跟上x的取值范围就可以了；同理，求Y的边缘概率密度(，，)只需在做题的时候把联合概率密度不为零的区域写成Y型区域，对x积分时，直接代入x的范围，在积分完成后，把x的取值范围跟在后面就可以了，这样在就再也不会写错积分变量的范围了。3条件概率密度及求法定义[2]：对于连续型随机变量(x，Y)，已知其联合概率密度为，Y)，对于固定的x，当()>0时，则称，y乏【J为在=的条件下Y的条件概率密度，记为(yl，yI著J；对于固定的y，当^()，)>。时，则称为在y=y的条件下X的条件概率密度，记为r(ly)=笔争。方法：因为在求条件概率密度时，需要先求出边缘概率

6、密度，我们已经写好对应的区域类型，所以，求在X=的条件下Y的条件概率密度()，I)时，把联合概率密度不为零的区域写成x型区域，保证()>0，求^(，，I)只需直接写入Y的取值范围就可以了；同理，求在Y=Y的条件下x的条件概率密度厶(IY)时，把联合概率密度不为零的区域写成Y型区域，保证()，)>0，求(IY)只需直接写入x的取值范围就可以了，这样也不会写错变量范围。4例题4．1联合概率密度不为零的区域是有限区域例1设二维随机变量(x，Y)的概率密度为，y)：J_)，，2，【0，eZse，求边缘概率密度和条件概率密度(参考文献[2]中85页习题9)。解：先求()和(，，I)，将联合概率密度不

7、为零的区域z1写成X型区域，Dx：r，1，则LyS上()：f，)：f【y(对y积分，直接代人y的范围)=(1一)，一1≤10．ee，y-=之={l(卜)，<1(直_y的范围)，将联合概率密度不为零的区域z1写成Y型区域，D：fL广．，则一√y’，，y(y)：一f。，y)：f【=(对x积分，直接代人x的范围)，o≤10，e1se，(后面直接跟上Y的取值范围)．第32卷(总第283期)李佳，邓有莲：巧用区域类型求边缘概率和条