从分数产生的现实背景认识分数的本质

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1、大学堂教案中心www.daxuetang.com权威海量+全文检索，专业服务，我思我取！从分数产生的现实背景认识分数的本质王永一、分数产生的现实背景之一——测量从数学发展史看，分数产生于人类的测量活动，而且人类认识分数是从认识分数单位开始的。⑴测量一张三人沙发的长度，如果没有现成的尺子，可以自选一个度量单位，如用一条领带的长为度量单位进行测量，测得三人沙发的长恰好等于这条领带长的2倍，即三人沙发的长＝领带的长×2＝2（领带的长）。量＝度量单位×量数。⑵测量一张单人沙发的长度，发现它还不足一条领带的长。

2、怎么办呢？办法是缩小度量单位。把这条领带对折两次，即以这条领带长度的四分之一（）为度量单位时，单人沙发的长恰好等于它的3倍，即单人沙发的长＝领带的长的×3＝（领带的长）量＝度量单位×量数。在测量单人沙发时，我们用到了比自然数1更小的度量单位（把自然数1平均分成4份，表示其中的一份的数是）。这里，分数和表示不同的长度（量），其中，是分数单位，大学堂教案中心www.daxuetang.com内容概览+智能记忆，个性服务，我快我乐！大学堂教案中心www.daxuetang.com权威海量+全文检索，专业服务

3、，我思我取！表示3个，或的3倍。所以，用分数单位度量一个量时，所得的结果一般是用分数表示的。也可以说，分数是由量与分数单位（度量单位）的倍比关系产生的。分数单位的重要性可见一斑。想一想：已知用1为单位度量三人沙发的长时，量数是2，沙发的长是多少？那么用为单位度量这张三人沙发的长，量数是几？这张三人沙发的长度是几分之几？如果用为单位去度量这张三人沙发的长呢？下面的表格，同样可以表征上述数学问题：三人沙发的长度度量单位量数？12？？？？？10下面双重刻度的线段，也可以表征上述的数学问题：？01021？00

4、？1？0经过上述作业，能充分体验量、度量单位、量数三者的基本关系：量＝度量单位×量数；同时，还会发现：2＝＝。大学堂教案中心www.daxuetang.com内容概览+智能记忆，个性服务，我快我乐！大学堂教案中心www.daxuetang.com权威海量+全文检索，专业服务，我思我取！再想一想：用为单位去度量一张双人沙发的长，如果所得的量数是6，那么这张双人沙发的长度可以用什么分数表示？上面这个数学问题，用线段图表征如下：？0610二、分数产生的现实背景之二——分物⑴用自然数1表示1个物体，把它平均分

5、成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。⑵用自然数1表示由许多物体组成的一个整体时，把它平均分成若干份，表示其中一份的数，也是分数单位吗？把8个饼平均分成4份，其中每份都有2个饼。如果把2（部分量）作为度量单位，去度量8（整体）时，量数是4；也就是说，8是2的4倍。如果把8作为单位“1”，去度量2时，量数是；这个分数描述的是同一个量中整体与部分的倍比关系，它本身不是一个量，当然也就不具有充当分数单位的资格。所以，同一个分数，具有两种不同的意义：一可以用来表示一个量，当它表示量时，它还是计量的单位（分

6、数单位）；二是可以用来表示量数，即表示两个量（整体与部分）的倍比关系。事实上任何分数都具有这两种意义。笼统地，把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。这个定义的科学性是值得商榷的。大学堂教案中心www.daxuetang.com内容概览+智能记忆，个性服务，我快我乐！大学堂教案中心www.daxuetang.com权威海量+全文检索，专业服务，我思我取！⑶如果把9个饼平均分给4个人，每人分得几个饼？这个实际问题通常被抽象为下面的数学问题：9平均分成4份，每份多少？解法一：因为1平均

7、分成4份，其中一份是；所以，9平均分成4份，每份是9个，即。算法如下：9÷4＝9×（1÷4）＝9×＝。解法二：9÷4＝2……1，1÷4＝，2＋＝2，所以，9÷4＝2。上述两种算法，都涉及到一个基本的运算：1÷4＝量÷量数＝度量单位。在教材中，是通过图形的直观操作得到结果的，但缺乏对操作过程的内涵抽象与概括，使学生不能看到分数与除法之间的本质联系。因此，学生的思维只能停留在经验的层面，他们的理论思维得不到应有的培养和发展。值得指出的是，当我们把实际问题中的“4个人”抽象成“4份”的时候，其中“4”的意义

8、，从表示量（人数）变换成表示量数（份大学堂教案中心www.daxuetang.com内容概览+智能记忆，个性服务，我快我乐！大学堂教案中心www.daxuetang.com权威海量+全文检索，专业服务，我思我取！数）了。当我们掌握了比的概念后，上述的实际问题还可以抽象成下面的数学问题：9与4的比的比值是多少？其中9与4的实际意义都没有改变，它们分别表示两个不同的量。解：9︰4＝︰1＝。回到实际问题的情境，解释比值的实际意义，即表示每个人分得个饼。从这个例