高考数学应用题的解法（续）

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1、高考数学应用题的解法（续）元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.讲解:想想看,需要引入哪些字母?怎样建构数学模型?设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为，征地费用为元，楼层建筑费用为[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]元，从而（元）当且仅当,n=20（层）时，总费用y最少.故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时,最少总费用为1000A元.5．某人计划年初向银行贷款10万元用于

2、买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？讲解：作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的．比如说：现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱．原因在于：现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息．在此基础上，这个问题，有两种思考的方法：法1．如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的

3、价值，与这个人还款的价值总额应该相等．则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算．10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为元．设每年还款x元．则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；……；第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为元．于是：105×(1+4％)10=x(1+4％)9+x(1＋4％)8＋x(1＋4％)7+…+x由等比数列求和公式可得：．其中所以，法2．从另一个角度思考，我们可以分步计算．考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱．仍然设每年还款

4、x元．则第一年还款后，欠银行的余额为：元；如果设第k年还款后，欠银行的余额为元，则．不难得出：＝105×(1+4％)10－x(1+4％)9－x(1＋4％)8－x(1＋4％)7－…－x另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有．由此布列方程，得到同样的结果．点评：存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：1．分清单利、复利（即等差与等比）；2．寻找好的切入点（如本题的两种不同的思考方法），恰当转化．3.一般来说，数列型应用题的特点是：与n有关．6.某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上

5、一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?讲解设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则，所以，当时，，两式相减得：（1）显然，若，则，即，此时-41-（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，，此时，（ii）当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，由，得，要使对于任意正整数，均有恒成立，即对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不

6、等式,得,上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.7．现有流量均为300的两条河流A、B会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2和0.2．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量，即从A股流入B股100水，经混合后，又从B股流入A股100水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01（

7、不考虑泥沙沉淀）？讲解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01”．但直接建构这样的不等关系较为困难．为表达方便，我们分别用来表示河水在流经第n个观测点时，A水流和B水流的含沙量．则＝2，＝0.2，且．（＊）由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列．由（＊）可得：所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．所以，．由题，令<0.01，得．所以，．由得，所以，．即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01．点评：本题为数列、不等式型综合应用问题，难点在于对题意的理解．8.为促进个人住房商品化

8、的进程，我国1999-41-年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：贷款期(年数)公积金贷款月利率(‰)商业性贷款月利率(‰)……1112131415…………4.3654.4554.5454