有限制条件的排列与组合问题

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1、莄蚁袄膈蒇袇螀膇蕿蚀肈膆芈蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆螂节莅蕿肁节蒇螅羇芁薀薇袃芀艿螃蝿荿莂薆肈莈蒄螁羄莇薆薄袀莆莆蝿袅羃蒈蚂螁羂薁袈肀羁芀蚁羆羀莂袆袂羀蒅虿螈聿薇蒂肇肈芇蚇羃肇葿蒀罿肆薁螅袅肅芁薈螁肄莃螄聿肄蒆薇羅肃薈螂袁膂芈薅螇膁莀螀蚃膀薂薃肂腿节衿羈膈莄蚁袄膈蒇袇螀膇蕿蚀肈膆芈蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆螂节莅蕿肁节蒇螅羇芁薀薇袃芀艿螃蝿荿莂薆肈莈蒄螁羄莇薆薄袀莆莆蝿袅羃蒈蚂螁羂薁袈肀羁芀蚁羆羀莂袆袂羀蒅虿螈聿薇蒂肇肈芇蚇羃肇葿蒀罿肆薁螅袅肅芁薈螁肄莃螄聿肄蒆薇羅肃薈螂袁膂芈薅螇膁莀螀蚃膀薂薃肂腿节衿羈膈莄蚁

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3、个原则。一、特殊元素优先处理例1、5人排成一排照相（1）甲不能站在中间,有多少种不同的的排法?（2）甲必须站在中间,有多少种不同的的排法?解法一：甲是受限制的特殊元素,优先考虑他的安排。（1）甲站在中间后，其余4人选择4个位置,共有C11A44=24种不同的排法。（2）甲从除中间外的其它4个位置上选择一个位置后，再排其余4人，故有C41A44=96种不同的排法。解法二：把中间位置视为特殊元素（1）中间位置只能给甲占，其余4个位置由余下其它4人占领，故有C11A44=24种不同的排法。（2）中间位置选甲之外4人中

4、的一人，其余4个位置由余下4人占领，故有C41A44=96种不同的排法。例2用五种不同的颜色给图中A,B,C,D,E五个平面区域染色,要求每个区域只染一种颜色,且相邻区域不能染相同颜色,求不同的染色方法总数。D解：五块平面区域中，A的位置特殊，与其余四块区域均相邻优先给A染色，有C51种方法,EC其余各块依次(分布)染色,故不同的染色方法种AAA数为C51C41C31C31C21=360。B例3、在30000和60000之间有多少个无重复数字的5的倍数。分析：依题意，万位上只能取3，4，5，个位上只能取回0或5

5、，可列表对个位分类讨论。0123456789万位√√√个位√√解：当个位取0时，有C31A83=1008种取法；当个位取5时，有C21A83=672种，故所求总数为C31A83+C21A83=1680。当题设两个以上限制条件时，可用列表法显示对特殊元素的限制，从而通过恰当分类找到解题方法。二、定序序问题无序处理例4从1到9这九个数字中任取4个不同的数作为函数y=ax3+bx2+cx+d的系数，且要求a＜b＜c＜d，这样的函数共有多少个？3分析：从9个数中取出4个作为三次函数的系数，由于规定了顺序，故每次取出后只

6、有一种排列位置，因而实际上是一个组合问题，无异于“无序”。故所求的函数个数为：C94=126。例510个人坐成一排，其中甲在乙的左边，甲乙不一定相邻的坐法有多少种？分析：在所有的坐法中，“甲在乙的左边”，与“甲在乙的右边”的方法是一样多，按对称性，应该有A1010÷2=A1010种不同的坐法。本题可拓展为更一般的“定序”问题：将n个不同有元素排成一排，其中a1在a2的左边，a2在的a3左边，…，ak-1在ak的左边（a1，a2，…，ak不一定相邻），总共有Ann÷AKK=种不同的排法。三、多排问题直排处理例6、

7、8个人排成前后两排，每排4人（1）共有多少种排法？（2）若甲、乙2人要排在前排，丙要排在后排，共有多少种不同的排法？分析；（1）8个人排成前后两排，每排4人的排法数等价于8人排成一排的排法数有A88=8！种排法。（2）此小题等价于“8个人排成一排，甲、乙要排在前4个位置之一，丙要排在后4个位置之一”。按特殊元素优先处理原则，有A42A41A55种方法。四、相邻问题“粘合”处理例7有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本。若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在在一起，外文书恰好排在一起的

8、排法共有种。（1996年上海高考题）分析：把3本数学书暂时看成一“本”，即暂时理解为把三本数学书“粘合”或“捆绑”在一起，有A33种排法；同理2本外文书恰好排在一起有A22种排法，然后与其它书去排，总共有A33A22A55种排法。例8计划展出10幅不同的，其中1幅水彩画，4幅油幅，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）种。（