有限制条件排列、组合问题解法

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1、有限制条件排列、组合问题解法有限制条件的排列、组合问题是排列、组合题目中较难的一类。限制条件越多问题越复杂。在解这一类问题时,应首先根据限制条件进行分类或分步，然后在每一类或每一步中再进行分步，联合运用加法原理和乘法原理进行计算。例1：由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个无重复数字的(1)自然数？(2)比213456大的自然数？(3)首位数是2的四位数？(4)是5的倍数的四位数？解：(1)可组成无重复数字的自然数为A16+A26+A36+A46+A56+A66=6+30+120+360+720+720=1956(个)。(2)方法一(直接法)，因为213456是首

2、位数为2的六位数中最小的一个，故首位数可选2、3、4、5、6中的一个，即有A15种，其余位数由剩余的5个数全排，但213456不符合要求，故满足条件的自然数有：A15・A55-1=599(个)。方法二(间接法)，所有的六位数有A66个，而不符合条件的六位数是首位为1的六位数有A55个及213456本身,故有：A66-A55-1=599（个）。（3）首位数是2的四位数，因首位数确定后，其余三个位置有A35种排法，故满足条件的四位数有A35=60（个）。（4）是5的倍数的四位数，个位数巳确定，必须是5,其余三位置有A35种排法，故满足条件的四位数有A35=60（个）。例2

3、：有4名男生，3名女生排成一行，按下列情况，问各有多少种不同排法？（1）甲必须站在某一固定位置；（2）甲必须不站在两端；（3）甲必须站在中间，乙必须站在甲的旁边；（4）甲乙必须相邻；（5）男、女生各排在一起；（6）女生不能相邻排。解：（1）因甲只能站在某一固定位置，其余6人在剩下的位置排列有A66种排法，故满足要求的不同排法有：A66=720（种）。（2）方法一（元素分析法）；因甲不站在两端，故甲有5个位置，有A15种不同排法，甲在某一位置站好后，其余位置由其余6人排，有A66种排法，故满足要求的不同排法有A15•A66=3600（种）。方法二（位置分析法）：甲不站在

4、两端，故两端可由其余6人中选出两人站好，而余的位置可由包括甲在内的5人排列，故满足条件的不同排列数为A26・A55=3600（种）。方法三（间接法）：①先不考虑限制条件，7人全排有A77种排法;②考虑不符合限制条件的排法，即甲站在两端的排法有A12・A66种排法;因此，满足限制条件的排法有A77-A12•A66=3600（种）。注：①一题多解是活跃思维、掌握多种解题技巧，检验结果的重要手段。②较复杂的排列、组合问题往往对选取的元素加以限制，这类问题的解法是抓住题目的限制条件，以正反两方面进行分析，运用不同的方法求解，有时间接解法比直接解法简洁。（3）元素分析法：甲站在

5、中间位置，乙必须站在甲的旁边，则乙有两个位置可站，有A12种站法，乙站好后，其余5人有A55种站法，故满足条件的不同站法有A12•A55=240（种）。位置分析法：甲站在中间位置，与中间位置相邻的两个位置可由乙与其余5人中的1人去站，有A15A22（种），相邻两个位置站好后，余下的四个位置其余4人站有A44种站法，故满足条件的不同站法有：A15-A25-A44=240（种）。（4）方法一：甲乙相邻有A22种排法，甲乙作为一个整体（新元素）再与其余5人排成一行，相当于6个元素排列，有A66种站法，故满足条件的不同站法有A66•A22=1440（种）。方法二（插空法）：先

6、不管乙，将其余6人排好有A66种排法，然后将乙插入甲的左或右面的空间中，故共有A66・A12=1440（种）。（5）男生连排在一起有A44种排法，女生连排在一起有A33种排法，又男，女生作为两个整体有A22种排法，故有A44•A33•A22=288种不同排法。（6）插空法：先将男生排成一行有A44种排法，再将女生插入男生之间或两头有A35种排法，故满足条件的不同站法有A44•A35=1440（种）。一般来说，插空法是先将一部分较多的元素排好，再将另一部分较少元素按限制条件插入空间中。例3：平面上有9条直线，其中（1）有4条互相平行，其余的没有任何两条平行，也没有任何三

7、条共点，可构成多少个三角形？（2）有四条共点，其余的没有任何三条共点，也没有任何两条平行，可构成多少个三角形？解：（1）方法一（直接法）：从4条平行线中取一条，从其余5条直线中取两条，可构成C14・C25个三角形；从其余五条中取三条，可构成C35个三角形，故共可构成三角形C14•C25+C35=50（个）。方法二（间接法）：从9条直线中任取三条有C39种取法，但其中不能构成三角形的是从互相平行的4条中取三条有C34种取法和从4条平行线中取二条、从其余5条中取一条有C24・C15种取法，故可构成三角形有C39-C34-C24•C15=50（个）。（2）