排列组合问题的常用解法

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1、排列组合问题的常用解法排列组合是职业高中数学教材,第十二章第一节内容,是教材的一个难点。解答排列组合问题,首先必须认真审题,明确是属于排列问题还是组合问题,或者属于排列与组合的混合问题;其次要抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答。同时,还要注意讲究一些策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解。　　下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析,拟找到解决相应问题的有效方法。　　一、合理分类与准确分步法　　解含有约束条件的排列组合问题,应按元素性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,作到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。　　例1.五个人排成一排,其中甲

2、不在排头,乙不在排尾,不同的排法有()　　A.120种B.96种C.78种D.72种　　由分类计数原理,排法共有A44+A33A31A31=78种,选C。　　练习1.(89年全国)由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有多少个(用数字作答)。答案:36　　二、混合问题“先选后排”　　对于排列组合混合问题,可先选出元素,再排列。　　例2.4个不同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,恰有一空盒的方法有多少种?　　分析:因有一空盒,故必有一盒子放两球。1)选:从四个球中选2个有C42种,从4个盒中选3个盒有C43种;2)排:把选出的2

3、个球看作一个元素与其余2球共3个元素,对选出的3盒作全排列有种,故所求放法有C42C43A33=144种。　　练习2.由数字1,2,3,4,5,6,7组成有3个奇数字,2个偶数字的五位数,数字不重复的有多少个?答案:有C43C32A55=1440(个)　　三、局部问题“整体优先法”　　对于局部排列问题,可先将局部看作一个元与其余元素一同排列,然后在进行局部排列。　　例3.7人站成一排照相,要求甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种?　　分析:甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”,这3人可从其余5人中选,有C52种;这个“小整体”与其余2人共3个元素全排列有A33种方法,它

4、的内部甲、乙两人有A22种站法,中间选的3人也有A33种排法,故符合要求的站法共有C52A33A22A33=720种。　　练习3.四对兄妹站一排,每对兄妹都相邻的站法有多少种?　　答案:A44．24=384四、元素间隔,分位插入　　对于某些元素要求有间隔的排列,用插入法。　　例4.5个男生3个女生排成一列,要求女生不相邻且不可排两头,共有几种排法?　　解:先排无限制条件的男生,女生插在5个男生之间的4个空隙,由乘法原理共有A55A43种。　　注意:①必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素,再插入必须间隔的元素;②数清可插的位置数;③插入时是以组合形式插入还是

5、以排列形式插入要把握准。　　练习4.4男4女站成一行,男女相间的站法有多少种?答案:2A44．A44　　五、顺序固定问题用“除法”　　对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同排列,然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。　　例5.6个人排队,甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种?　　分析:不考虑附加条件,排队方法有A66种,而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66÷A33=120种。　　练习5.要编制一张演出节目单,6个舞蹈节目已排定顺序,要插入5个歌唱节目,则共有几种插入方法?答案:A

6、1111/A66或C116A55=C115A55或7×8×9×10×11种　　六、“小团体”排列,先“团体”后整体　　对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。　　例6.四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会,演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手,则出场方案有几种?　　解:先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A42A22种,把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有A33种,由乘法原理,共有A42A22A33种。　　练习6.6人站成一排,其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多

7、少种?答案:A22．A44　　七、构造模型“隔板法”　　对于较复杂的排列问题,可通过设计另一情景,构造一个隔板模型来解决问题。　　例7.方程a+b+c+d=12有多少组正整数解?　　分析:建立隔板模型:将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板,把球分成4堆,而每一种分法所得4堆球的各堆球的数目,即为a,b,c,d的一组正整解,故原方程的正整数解的组数共有C113=165。　　除了上述方法外,还有不同元素进盒,先分堆再排列;两类元素的排列,用组合选位法;个数不少于盒子编号数,先填满再分隔;表格法等等。