多解类数学问题的成因探析

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1、多解类数学问题成因浅析姜堰市克强学校李齐荣关键词：数学问题多解成因探析内容摘要：一些需要分类讨论、答案不唯一的数学问题，许多学生不能正确解答，分析其原因主要是题意语言表述模糊，学生思维定势，他们不能全面地理解题意，不能发散思维，因此不能正确地解出这类问题。教者若能在日常教学过程中持之以恒地培养学生多角度、全方位地思考问题，突破单一的思维模式，引导学生转换角度，发散思维，探索多途径解题，形成基本技能和技巧，将有助于提高学生解决这类问题的水平。近年来，随着开放性题型的考查日益增多，数学试题中常有许多问题不是唯一解，需要进行分类讨论。同学们会受思维定势和思维局限性的影响，只能考

2、虑出其中一种情况或部分情况，而不能打破原有的思维模式，展开联想和想象，从多角度、多方位、多层次进行思考，全面地、正确地解决这类问题。探析这类问题的成因，主要是题意表述语言的模糊，学生不能正确把握题意，生成对应思维。常见的有以下几种情况：一、初中数学中部分概念，定义时本身就使用了模糊语言，未表述清楚。如等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。（在三角形中有三边，是哪两边相等呢？指代不明，要分类讨论。）等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，这两条相等的边所夹的角叫做顶角，除了顶角之外的两个角叫做底角。对于这段文字，许多老师上课时会用各种方法协助学生理解、记忆，然而检

3、测时，学生对概念的理解及应用类问题的正确率往往并不高。许多同学深受思维定势和思维局限性的影响，解题时答案不全面。例1：（1）有两边长分别为2、3的等腰三角形的周长为（2）有两边长分别为1、3的等腰三角形的周长为（3）有一角度数为30°的等腰三角形的其它两角的度数分别为（4）有一角度数为100°的等腰三角形的其它两角的度数分别为这类数学问题主要考查了学生对基本概念的理解及应用，使用的“技巧”就是文字表述不清。许多学生未能形成发散性思维，主观臆第7页共5页断。上述问题中的边、角，出题者并未说清楚、说具体是什么边？（底边还是腰？）是什么角？（顶角还是底角？）如问题（3）中的一角

4、，同学们会主观地、片面地认为已知角是顶角或底角中的一种，而不是这样去分析，三角形中的角有顶角和底角之分，这个角未说清楚是顶角还是底角，那可能是顶角，也可能是底角，要分两种情况去解这个问题。当然在解决这类问题时还要注意考查的隐含知识点。如问题（1）、（2）中的三角形三边关系定理，问题（3）、（4）中的三角形的内角和为180°等。例2：已知反比例函数和一次函数y=2x－1，其中一次函数的图象经过(a,b)，(a+k，b+k+2)两点。(1)求反比例函数的解析式？(2)已知A在第一象限，是两个函数的交点，求A点坐标？(3)利用(2)的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP

5、为等腰三角形？分析：上题(3)中，“△AOP为等腰三角形”，题意中未说清楚△AOP是以谁为顶点的等腰三角形，故要分为三种情况，当以A为顶点时，AO=AP；当以O为顶点时，AO=OP；当以P为顶点时，PO=AP。“在x轴上是否存在点P”，点P可能在x轴正半轴，也有可能在x轴负半轴(坐标原点不满足题意，舍)。若变式为“在坐标轴上是否存在点P”，则“坐标轴”还要分为x轴和y轴两种情况去讨论。因此，在不知出题者具体考查意图时，我们要注意分类讨论各种可能情况，逐一解答，才能使解题过程完整、完美。二、部分数学问题，文字语言的模糊性与符号语言的精确性有本质的区别。如上例中“等腰△AOP

6、”与“在△AOP中，AO=AP”，两句话都说出了△AOP为等腰三角形，但前者未说清楚△AOP是以谁为顶点的等腰三角形，故要分为三种情况解题，而后者表述清楚、明了、唯一。因此，对部分使用文字语言表述的数学问题，在将文字语言转化为符号语言时，要分情况讨论。例3：已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，求△DEF的另两边长是多少时，这两个三角形相似。分析：题中只说这两个三角形相似，而未说清楚是△ABC∽△DEF△第7页共5页ABC∽△DFE△ABC∽△EDF△ABC∽△FDE……，即4cm的边的对应边不确定，要分三种情况，当4与6对应时，

7、7.5与9的对应边是多少？当4与7.5对应时，6与9的对应边是多少？当4与9对应时，6与7.5的对应边是多少？xOyAB例3例4：如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数的图象上．（1）求m，k的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．分析：题中只说“以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形”，而未说清楚是平行四边形ABMN呢？还是平行四边形ABNM？要分两种情况情况讨论。三、部分数学问题设计时语言模糊，有歧义，不严谨。B10