中考四点共圆综合题归类

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1、111．已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．（1）如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=60°，则△PMN的形状是　等边三角形　，此时=　1　；（2）如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，证明△PMN∽△BAO，并计算的值（用含α的式子表示）；（3）在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；确定圆的条件。专题：综合题。分析：（1）由于AB=OB，CD=OC，∠ABO=∠DCO，且

2、∠ABO=60°，则△AOB和△COD都为等边三角形，又A、O、C三点在同一直线上，则△PMN为等边三角形，AD=BC．（2）连接BM、CN，由于△ABO与△MPN都为等腰三角形，且证得∠MPN=∠ABO，则△PMN∽△BAO，的值可在Rt△BMA中求得．（3）结合图形，直接可写出△COD绕点O旋转后PM的最大值．解答：解：（1）连接BM，CN，∵△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=60°，∴△AOB与△COD是等边三角形，又∵点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点，∴BM⊥AC，CN⊥BD，∠MBO=∠ABO=∠NCO=∠OCD=30°，∴PM=PN

3、=BC，∴∠PBM=∠PMB，∠PCN=∠PNC，∵∠BAO=∠DCO=60°，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠MBP+∠BCN=180°﹣∠ABM﹣∠DCN=120°，∴∠BPM+∠NPC=360°﹣2（∠MBP+∠BCN）=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，∴PM=PN=MN，∵AD=2MN，BC=2PM，∴=1．（2）证明：连接BM、CN．11由题意，得BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°﹣α．∵A、O、C三点在同一直线上，∴B、O、D三点在同一直线上．∴∠BMC=∠CNB=90°．∵P为BC中点，∴在Rt△BMC中，．在Rt

4、△BNC中，，∴PM=PN．∴B、C、N、M四点都在以P为圆心，为半径的圆上．∴∠MPN=2∠MBN．又∵，∴∠MPN=∠ABO．∴△PMN∽△BAO．∴．由题意，，又．∴．∴．在Rt△BMA中，．∵AO=2AM，∴．∴．（3）．当CO∥AB时，即四边形ABCO是梯形时，PM有最大值．PM=（AB+CO）÷2=（2+3）÷2=．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及等边三角形的确定条件，综合性强，较为复杂．3．已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将∠BAC绕顶点A逆时针旋转α°（0＜α＜45），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC，CD于点E、点F，连接EF，

5、EQ．（1）在∠BAC的旋转过程中，∠AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究△APQ与△AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明．考点：旋转的性质；正方形的性质。11分析：（1）在∠BAC的旋转过程中，∠AEQ的大小等于∠BAC，所以不会改变，度数可知；（2）先确定这两个三角形的面积求法，即找出底边和高，然后计算这些线段之间的数量关系即可得到答案．解答：解：（1）不变，其度数为：45°；设对角线交于O点，由题意可知∠BAE=α°，∠OAQ=α°，所以∠BAE=∠OAQ因为∠ABE=∠AOQ=90°所以△AB

6、E∽△AOQ∴AB：AO=AE：AQ所以AB/AE=AO/AQ，又因为∠BAO=∠EAQ=45°，所以△BAO∽△EAQ，所以∠AEQ=∠ABO=45°，所以∠AEQ的度数不变；（2）结论：S△AEF=2S△APQ证明：∵∠AEQ=45°，∠EAF=45°∴∠EQA=90°∴同理过点P作PH⊥AF于H∴S△AEF==△APQ点评：本题考查了旋转的性质、正方形的性质、三角形面积公式和直角三角形的性质．11．（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，E是AD上一点，EC∥AB，EB∥CD，若S△DEC=1，S△ABE=3，则S△BCE=　　；若S△DEC=S1，S△ABE=S2，S△BCE

7、=S，请直接写出S与S1、S2间的关系式：　S2=S1•S2　；（2）如图2，△ABC、△DCE、△GEF都是等边三角形，且A、D、G在同一直线上，B、C、E、F也在同一直线上，S△ABC=4，S△DCE=9，试利用（1）中的结论得△GEF的面积为　　．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积。专题：计算题。分析：（1）根据平行线的性质可得，∠A=∠CED，∠AEB=∠D，则△ABE∽△ECD；作AF⊥BE垂足为F，CG⊥BE垂足为G，根据已知得AF：C