2017年春中考数学总复习滚动小专题(九)圆的有关计算与证明

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1、滚动小专题(九)　圆的有关计算与证明类型1　与圆的基本性质有关的计算与证明1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.证明：(1)∵OD⊥AC，OD为半径，∴＝.∴∠CBD＝∠ABD.∴BD平分∠ABC.(2)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°.∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°.∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝180°－90°－60°＝30°.又∵

2、AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ACB中，BC＝AB，∵OD＝AB，∴BC＝OD.2．(2016·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD延长线于点F，连接EF.(1)求证：∠1＝∠F；(2)若sinB＝，EF＝2，求CD的长．解：(1)证明：连接DE.∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°.∵E是AB的中点，∴DA＝DB.∴∠1＝∠B.∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2.∴AB＝2AE＝4.在Rt△ABC中，AC＝AB·sinB＝4，∴BC＝＝8.

3、设CD＝x，则AD＝BD＝8－x，∵AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，∴x＝3，即CD＝3.3．(2016·苏州)如图，AB是圆O的直径，D、E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE、DE、DF.(1)证明：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝，E是弧AB的中点，求EG·ED的值．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝

4、∠C.∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.又∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.又∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.(3)连接OE.∵∠CFD＝∠AEG＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4.在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，∴AB＝6.∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE＝90°.∵AO＝OE＝3，∴AE＝3.∵E是的中点，∴∠ADE＝∠EAB，∴△AEG∽△DEA.∴＝，即EG·ED＝AE2＝18.类型2　与圆的切线有关的计算与证明4．(

5、2016·南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心，OC为半径作圆．(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)如果tan∠CAO＝，求cosB的值．解：(1)证明：作OD⊥AB于点D.∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，∴OD＝OC.∵OC是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．(2)∵∠ACB＝90°，∴AC是⊙O的切线．∴AC＝AD.在Rt△ACB和Rt△OBD中，∵∠ABC＝∠OBD，∴△ABC∽△OBD，∴＝＝＝tan∠CAO＝.∵OC＝OD＝1，∴AC＝AD＝3.设OB为x，则AB＝3x，BD＝AB

6、－AD＝3x－3.在Rt△ODB中，OB2＝OD2＋DB2，即x2＝12＋(3x－3)2.解得x1＝，x2＝1(不合题意，舍去)．∴DB＝，∴cosB＝＝.5．(2016·威海)如图，在△BCE中，点A为边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF.(1)求证：CB是⊙O的切线；(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OD，与AF相交于点G.∵CE与⊙O相切于点D，∴OD⊥CE.∴∠CDO＝90°.∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC.∵OA＝OB

7、，∴∠ADO＝∠DAO.∴∠DOC＝∠COB.在△CDO和△CBO中，∴△CDO≌△CBO(SAS)．∴∠CBO＝∠CDO＝90°.∴CB是⊙O的切线．(2)由(1)可知∠OCD＝∠BCO，∠DOC＝∠COB，∵∠ECB＝60°，∴∠OCD＝∠ECB＝30°.∴∠DOC＝∠COB＝60°.∴∠AOD＝60°.∵OA＝OD，∴△OAD是等边三角形．∴AD＝OD＝OF.在△FOG和△ADG中，∴△FOG≌△ADG(AAS)．∴S△ADG＝S△FOG.∵AB＝6，∴⊙O的半径r＝3，∴S阴影＝S扇形ODF＝＝π.6．(2016·十堰)如图1，AB为半圆O的直

8、径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)如