2017年春中考总复习滚动小专题(十)与图形变换有关的简单计算

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1、滚动小专题(十)　与图形变换有关的简单计算与证明1．(2016·厦门)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图)解：如图，△EDC即为所求．连接AD.∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3.∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°，点A，B的对应点分别是点D，E，∴AC＝CD＝3，∠ACD＝90°.∴AD＝＝3.2．如图，在四边形ABCD中，A

2、D∥BC，且AD＝4，△ABC的周长为14，将△ABC平移到△DEF的位置．(1)指出平移的方向和平移的距离；(2)求四边形ABFD的周长．解：(1)平移的方向是沿AD(或者是沿BC)方向，平移的距离是4.(2)根据平移的性质：AD＝CF＝4.∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF.∵C△ABC＝AB＋BC＋AC＝14，∴C梯形ABFD＝AB＋BF＋DF＋AD＝AB＋BC＋CF＋AC＋AD＝C△ABC＋CF＋AD＝14＋4＋4＝22.3．(2015·连云港)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C

3、落在点F处，DF交AB于点E.(1)求证：∠EDB＝∠EBD；(2)判断AF与DB是否平行，并说明理由．解：(1)证明：由折叠可知：∠CDB＝∠EDB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.∴∠CDB＝∠EBD.∴∠EDB＝∠EBD.(2)AF∥DB，理由如下：∵∠EDB＝∠EBD，∴DE＝BE.由折叠可知：DC＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB.∴DF＝AB.∴AE＝EF.∴∠EAF＝∠EFA.在△BED中，∠EDB＋∠EBD＋∠DEB＝180°，∴2∠EDB＋∠DEB＝180°.同理，

4、在△AEF中，2∠EFA＋∠AEF＝180°.∵∠DEB＝∠AEF，∴∠EDB＝∠EFA.∴AF∥DB.4.(2016·齐齐哈尔)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－4，0)，C(0，0)．(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；(3)在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．解：(1)如图

5、所示，△A1B1C1为所求作的三角形．(2)如图所示，△A2B2O为所求作的三角形．(3)∵A2坐标为(3，1)，A3坐标为(4，－4)，∴A2A3所在直线的解析式为y＝－5x＋16.令y＝0，则x＝，∴P点的坐标为(，0)．5．(2015·日照)如图，已知在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△MCN，连接AM，BN.(1)求证：AM＝BN；(2)当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．解：(1)证明：∵CA＝CB

6、，∠ACB＝90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，∴CE＝CF.根据旋转的性质，CM＝CE＝CN＝CF，∠ACM＝∠BCN＝α.在△AMC和△BNC中，∴△AMC≌△BNC(SAS)．∴AM＝BN.(2)∵MA∥CN，∴∠ACN＝∠CAM.∵∠ACN＋∠NCB＝90°，∴∠ACN＋∠ACM＝90°.∴∠CAM＋∠ACM＝90°.∴∠AMC＝90°.∴cosα＝＝＝.6．(2016·北京)在等边△ABC中：图1　　　　　　　　　图2　　　(1)如图1，P、Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠

7、AQB的度数；(2)点P、Q是BC边上的两个动点(不与点B、C重合)，点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM、PM.①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验，提出猜想：在P、Q运动的过程中，始终有PA＝PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA＝PM，只需证△PAM是等边三角形．想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM.想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60，得到线段BK，要证PA＝PM

8、，只需证PA＝CK，PM＝CK.……请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM(一种方法即可)．解：(1)∵AP＝AQ，∴∠AQB＝∠APC.又∵∠APC＝∠B＋∠BAP＝60°＋20°＝80°，∴∠AQB＝80°.(2)①如图所示．②证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°.又∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB.∴∠BAP＋∠ABC＝∠APQ＝∠AQB＝∠