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2017-2018学年河北省衡水市景县中学高一(上)期中数学试卷 一、选择题(每题5分,共60分)1.方程组的解集是( )A.{(5,4)}B.{(﹣5,﹣4)}C.{(﹣5,4)}D.{(5,﹣4)}2.x∈R,则f(x)与g(x)表示同一函数的是( )A.f(x)=x2,B.f(x)=1,g(x)=(x﹣1)0C.,D.,g(x)=x﹣33.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1]B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)4.已知A={x|x≥1},,若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是( )A.[1,+∞)B.[,1]C.[,+∞)D.(1,+∞)5.已知函数,则=( )A.B.C.D.6.已知f(x)=x5+bx﹣8,且f(﹣2)=10,则f(2)=( )A.﹣26B.﹣18C.﹣10D.107.已知f(x)是定义在R上的偶函数,它在[0,+∞)上递增,那么一定有( )A.B.C.D.8.若偶函数y=f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,且,,,则下列不等式成立的是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a第16页(共16页) 9.函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=(a﹣1)x2﹣2x﹣1在同一坐标系内的图象可能是( )A.B.C.D.10.若函数y=x2﹣6x+8的定义域为x∈[1,a],值域为[﹣1,3],则a的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,5)C.(3,5)D.[3,5]11.若x∈(﹣∞,﹣1]时,不等式(m2﹣m)•4x﹣2x<0恒成立,则实数m的取值范围是( )A.(﹣2,1)B.(﹣4,3)C.(﹣1,2)D.(﹣3,4)12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)在[m,n]上有( )A.最小值f(m)B.最大值f(n)C.最小值f(n)D.最大值 二、填空题(每小题5分,共20分)13.集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B= .14.已知f()=x+2,则f(x) .15.当0<x<1时,幂函数y=xp的图象在直线y=x的上方,则p的取值范围是 .16.下列说法正确的是 .①任意x∈R,都有3x>2x;②若a>0,且a≠1,M>0,N>0,则有loga(M+N)=logaM•logaN;③的最大值为1;④在同一坐标系中,y=2x与的图象关于y轴对称. 三、解答题(共70分)第16页(共16页) 17.(10分)已知集合A={1,3,x2},B={1,2﹣x},且B⊆A.(1)求实数x的值;(2)若B∪C=A,求集合C.18.(12分)化简下列各式(1)(2).19.(12分)设函数f(x)=.(1)求f(0),f(2),f(f(3))的值;(2)求不等式f(x)≤2的解集.20.(12分)已知函数f(x)=是奇函数(a为常数).(1)求a的值;(2)解不等式f(x)<.21.(12分)已知函数f(x)=loga(3﹣ax).(1)当时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[2,3]上为增函数,并且f(x)的最大值为1.如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.22.(12分)已知f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,且f(2)=3,若对任意的m,n∈[﹣2,2],m+n≠0,都有>0.(1)若f(2a﹣1)<f(a2﹣2a+2),求实数a的取值范围;(2)若不等式f(x)≤(5﹣2a)t+1对任意x∈[﹣2,2]和a∈[﹣1,2]都恒成立,求实数t的取值范围. 第16页(共16页) 2017-2018学年河北省衡水市景县中学高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题(每题5分,共60分)1.方程组的解集是( )A.{(5,4)}B.{(﹣5,﹣4)}C.{(﹣5,4)}D.{(5,﹣4)}【分析】把直线方程代入双曲线方程消去y后求得x,代入直线方程求得y.【解答】解:把直线方程代入双曲线方程得x2﹣(x﹣1)2=9,整理得2x=10,x=5x=5代入直线方程求得y═﹣5+1=﹣4故方程组的解集为{5,﹣4},故选D【点评】本题主要考查了直线与双曲线的关系.涉及交点问题一般是把直线方程与圆锥曲线的方程联立,通过解方程组求解. 2.x∈R,则f(x)与g(x)表示同一函数的是( )A.f(x)=x2,B.f(x)=1,g(x)=(x﹣1)0C.,D.,g(x)=x﹣3【分析】根据两函数的定义域相同,对应法则也相同,即可判断它们是同一函数.【解答】解:对于A,f(x)=x2(x∈R),g(x)==|x|(x∈R),两函数对应关系不同,不是同一函数;对于B,f(x)=1(x∈R),g(x)=(x﹣1)0=1(x≠第16页(共16页) 1),两函数的定义域不同,不是同一函数;对于C,f(x)==1(x>0),g(x)==1(x>0),两函数的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数;对于D,f(x)==x﹣3(x≠﹣3),g(x)=x﹣3(x∈R),两函数的定义域不同,不是同一函数.故选:C.【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题,是基础题. 3.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1]B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)【分析】根据f(2x)中的2x和f(x)中的x的取值范围一样得到:0≤2x≤2,又分式中分母不能是0,即:x﹣1≠0,解出x的取值范围,得到答案.【解答】解:因为f(x)的定义域为[0,2],所以对g(x),0≤2x≤2且x≠1,故x∈[0,1),故选B.【点评】本题考查求复合函数的定义域问题. 4.已知A={x|x≥1},,若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是( )A.[1,+∞)B.[,1]C.[,+∞)D.(1,+∞)【分析】由A={x|x≥1},,A∩B≠∅,列出不等式能求出实数a的取值范围.【解答】解:∵A={x|x≥1},,A∩B≠∅,∴2a﹣1≥1,解得a≥1,∴实数a的取值范围是[1,+∞).故选:A.第16页(共16页) 【点评】本题考查实数的取值范围的求法,考查交集性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 5.已知函数,则=( )A.B.C.D.【分析】由已知中函数,将x=,代入可得的值.【解答】解:∵函数,∴f()=﹣+3=∴=f()=+1=,故选:D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数求值,难度中档. 6.已知f(x)=x5+bx﹣8,且f(﹣2)=10,则f(2)=( )A.﹣26B.﹣18C.﹣10D.10【分析】设f(x)=g(x)﹣8,则g(x)为奇函数,求得g(2)的值,可得f(2)的值.【解答】解:设f(x)=x5+bx﹣8=g(x)﹣8,∴g(x)为奇函数,由f(﹣2)=g(﹣2)﹣8=10,可得g(﹣2)=﹣g(2)=18,故g(2)=﹣18.则f(2)=g(2)﹣8=﹣18﹣8=﹣26,故选:A.【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用,属于基础题. 7.已知f(x)是定义在R上的偶函数,它在[0,+∞)上递增,那么一定有( )A.B.C.D.第16页(共16页) 【分析】由已知中f(x)在[0,+∞)上递增,结合a2﹣a+1=≥得到答案.【解答】解:∵a2﹣a+1=≥,f(x)在[0,+∞)上递增,∴,故选:B【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用,函数的单调性,利用配方法得到a2﹣a+1≥是解答的关键. 8.若偶函数y=f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,且,,,则下列不等式成立的是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a【分析】根据题意,由偶函数的性质分析可得f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,又由<<,分析可得答案.【解答】解:根据题意,偶函数y=f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,则函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,又由<<,则有c<a<b,故选:C.【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,关键是分析得到函数在[0,+∞)上的单调性. 9.函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=(a﹣1)x2﹣2x﹣1在同一坐标系内的图象可能是( )A.B.C.D.第16页(共16页) 【分析】讨论a的范围,判断函数的单调性,和二次函数的开口方向和对称轴的位置,从而得出答案.【解答】解:若0<a<1,则指数函数y=ax是减函数,二次函数y=(a﹣1)x2﹣2x﹣1开口向下,对称轴为x=<0,排除D;若a>1,则指数函数y=ax是增函数,二次函数y=(a﹣1)x2﹣2x﹣1开口向上,对称轴为x=>0,排除B;又二次函数y=(a﹣1)x2﹣2x﹣1与y轴交点为(0,﹣1),排除A;故选C.【点评】本题考查了指数函数与二次函数的图象,属于中档题. 10.若函数y=x2﹣6x+8的定义域为x∈[1,a],值域为[﹣1,3],则a的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,5)C.(3,5)D.[3,5]【分析】根据二次函数的性质,画出函数的图象,从而得出答案.【解答】解:∵y=x2﹣6x+8=(x﹣3)2﹣1,对称轴x=3,与x轴的交点为:(2,0),(4,0),画出函数的图象:如图示:,∵函数的值域为[﹣1,3],∴3≤a≤5,故选:D.第16页(共16页) 【点评】本题考查了二次函数的性质,考查了数形结合思想,是一道基础题. 11.若x∈(﹣∞,﹣1]时,不等式(m2﹣m)•4x﹣2x<0恒成立,则实数m的取值范围是( )A.(﹣2,1)B.(﹣4,3)C.(﹣1,2)D.(﹣3,4)【分析】由题意可得(m2﹣m)<在x∈(﹣∞,﹣1]时恒成立,则只要(m2﹣m)<的最小值,然后解不等式可m的范围【解答】解:∵(m2﹣m)4x﹣2x<0在x∈(﹣∞,﹣1]时恒成立∴(m2﹣m)<在x∈(﹣∞,﹣1]时恒成立由于f(x)=在x∈(﹣∞,﹣1]时单调递减∵x≤﹣1,∴f(x)≥2∴m2﹣m<2∴﹣1<m<2故选C【点评】本题主要考查了函数的恒成立问题m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)得最小值(m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)的最大值),体现出函数恒成立与最值的相互转化. 12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)在[m,n]上有( )A.最小值f(m)B.最大值f(n)C.最小值f(n)D.最大值【分析】利用赋值法证明f(x)的单调性,即可判断函数f(x)在[m,n]的最值情况.第16页(共16页) 【解答】解:函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),定义为R.令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0;再令y=﹣x,代入原式得f(0)=f(x)+f(﹣x)=0,所以f(﹣x)=﹣f(x),故该函数为奇函数且图象过原点;设x<y,则x﹣y<0那么f(x﹣y)>0,得:f(x)=f(x﹣y+y)=f(x﹣y)+f(y)即f(x)﹣f(y)>0.∴f(x)是R上的减函数.则函数f(x)在[m,n]上有最大值为f(m),最小值为f(n).故选:C.【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性求最值的方法 二、填空题(每小题5分,共20分)13.集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B= {3,5} .【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5}.故答案为:{3,5}.【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用. 14.已知f()=x+2,则f(x) x2+4x+3(x≥﹣1) .【分析】令t=,将已知等式中的x一律换为t,求出f(t)即得到f(x).注意定义域.【解答】解:令t=(t≥﹣1)则x=(t+1)2所以f(t)=(t+1)2+2(t+1)=t2+4t+3(t≥﹣1)第16页(共16页) 所以f(x)=x2+4x+3(x≥﹣1)故答案为:x2+4x+3(x≥﹣1)【点评】已知f(ax+b)的解析式,求f(x)的解析式,一般用换元的方法或配凑的方法,换元时,注意新变量的范围. 15.当0<x<1时,幂函数y=xp的图象在直线y=x的上方,则p的取值范围是 p<1 .【分析】根据幂函数的性质转化为指数函数进行求解.【解答】解:当0<x<1时,幂函数y=xp的图象都在直线y=x的上方,则此时xp>x,∵0<x<1,∴p的取值范围是p<1.故答案为:p<1.【点评】本题主要考查了幂函数的图象和性质应用问题,也考查了指数函数的性质应用问题. 16.下列说法正确的是 ③④ .①任意x∈R,都有3x>2x;②若a>0,且a≠1,M>0,N>0,则有loga(M+N)=logaM•logaN;③的最大值为1;④在同一坐标系中,y=2x与的图象关于y轴对称.【分析】①,结合y=3xy=2x,的图象即可判断,②,根据对数的运算性质判定,③,由|x|≥0,且函数y=2t递减,即可判断;④,结合y=2x与=2﹣x的图象即可判断.【解答】解:对于①,x>0时,有3x>2x,x=0时,有3x=2x,x<0时,有3x<2x,故错,对于②,若a>0,且a≠1,M>0,N>0,则有loga(M+N)=logaM•logaN,错;第16页(共16页) 对于③,∵|x|≥0,且函数y=2t,在t≥0时递减,∴的最大值为1,正确;对于④,在同一坐标系中,y=2x与=2﹣x的图象关于y轴对称,正确.故答案为:③④【点评】本题考查了命题真假的判定,涉及到了函数、对数运算的基础知识,属于中档题. 三、解答题(共70分)17.(10分)已知集合A={1,3,x2},B={1,2﹣x},且B⊆A.(1)求实数x的值;(2)若B∪C=A,求集合C.【分析】(1)由B⊆A,得到2﹣x=3,或2﹣x=x2,得x=﹣1,或x=1,或x=﹣2,当x=±1时,A={1,3,1}不满足集合中元素的互异性,由此求出x=﹣2.(2)由(1)得A={1,3,4},B={1,4},由B∪C=A,能求出集合C.【解答】解:(1)∵集合A={1,3,x2},B={1,2﹣x},且B⊆A,∴2﹣x=3,或2﹣x=x2,解得x=﹣1,或x=1,或x=﹣2,…(3分)当x=±1时,A={1,3,1}不满足集合中元素的互异性,舍去,∴x=﹣2.…(6分)(2)由(1)得A={1,3,4},B={1,4},∵B∪C=A,∴集合C可能为:{3}或{1,3}或{3,4}或{1,3,4}.…(10分)【点评】本题考查实值的求法,考查集合的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意子集、并集定义的合理运用. 18.(12分)化简下列各式第16页(共16页) (1)(2).【分析】(1)根据指数幂的运算性质即可求出,(2)根据对数的运算性质计算即可【解答】解:(1)原式=(﹣×3×)•ab=;(2)原式===.【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质,属于基础题 19.(12分)设函数f(x)=.(1)求f(0),f(2),f(f(3))的值;(2)求不等式f(x)≤2的解集.【分析】(1)代值计算即可,(2)根据分段函数的解析式解不等式即可.【解答】解:(1)f(0)=2﹣0=1,f(2)=log42=,f(3)=log43=log2f(log2)=,∴f(f(3))=(2)当x<1时,f(x)≤2⇔2﹣x≤2,,解得:﹣1≤x<1;当x≥1时,f(x)≤2⇔log4x≤2,,解得:1≤x≤16;综上,不等式的解集为[﹣1,16].【点评】本题考查了分段函数,以及不等式的解法,属于基础题. 20.(12分)已知函数f(x)=是奇函数(a为常数).(1)求a的值;第16页(共16页) (2)解不等式f(x)<.【分析】(1)由题意可得f(0)==0,由此求得a的值.(2)由不等式可得得2x+1<8,由此解得该不等式的解集.【解答】解:(1)∵函数f(x)=是奇函数(a为常数),∴f(0)==0,求得a=1.(2)不等式f(x)<,即<,即2x+1<8,解得:x<2,故该不等式的解集为(﹣∞,2).【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用,解指数型不等式,属于基础题. 21.(12分)已知函数f(x)=loga(3﹣ax).(1)当时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[2,3]上为增函数,并且f(x)的最大值为1.如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.【分析】(1)由题意,即要考虑到当时,3﹣ax>0恒成立,转化成恒成立问题,利用复合函数的单调性即可求出实数a的取值范围;(2)假设存在这样的实数,再根据f(x)是增函数,并且f(x)的最大值为1,即可求出a的值.【解答】解:(1)设t=3﹣ax,∵a>0,且a≠1,则t=3﹣ax为R上的减函数,∴时,t的最小值为,第16页(共16页) 又∵当,f(x)恒有意义,即t>0对恒成立,∴tmin>0,即,∴a<2,又a>0,且a≠1,∴实数a的取值范围为(0,1)∪(1,2).(2)令t=3﹣ax,则y=logat,∵a>0,则函数t(x)为R上的减函数,又∵f(x)在区间[2,3]上为增函数,∴y=logat为减函数,∴0<a<1,∴当x∈[2,3]时,t(x)最小值为3﹣3a,即此时f(x)最大值为loga(3﹣3a),由题意可知,f(x)的最大值为1,∴loga(3﹣3a)=1,∴,即,∴,故存在实数,使得函数f(x)在区间[2,3]上为增函数,并且f(x)的最大值为1.【点评】本题主要考查了对数函数的定义域、单调性的应用、函数单调性的性质、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力.对于是否存在问题,一般假设存在,推出结论.属于基础题. 22.(12分)已知f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,且f(2)=3,若对任意的m,n∈[﹣2,2],m+n≠0,都有>0.(1)若f(2a﹣1)<f(a2﹣2a+2),求实数a的取值范围;(2)若不等式f(x)≤(5﹣2a)t+1对任意x∈[﹣2,2]和a∈[﹣1,2]都恒成立,求实数t的取值范围.第16页(共16页) 【分析】(1)由题意首先确定函数的单调性,结合函数的单调性脱去f符号,求解关于实数a的不等式组即可求得最终结果;(2)集合(1)中函数的性质得到关于实数t的不等式组,求解不等式组即可求得实数t的取值范围.【解答】解:(1)设任意x1,x2,满足﹣2⩽x1<x2⩽2,由题意可得f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)=<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在定义域[﹣2,2]上是增函数.则f(2a﹣1)<f(a2﹣2a+2)可化为:﹣2⩽2a﹣1<a2﹣2a+2⩽2,解得0⩽a<1,∴a的取值范围为[0,1).(2)由(1)知,不等式f(x)⩽(5﹣2a)t+1对任意x∈[﹣2,2]和a∈[﹣1,2]都恒成立,fmax(x)⩽(5﹣2a)t+1对任意的a∈[﹣1,2]都恒成立,∴3⩽(5﹣2a)t+1恒成立,即2ta﹣5t+2⩽0对任意的a∈[﹣1,2]都恒成立,令g(a)=2ta﹣5t+2,a∈[﹣1,2],则只需,解得t⩾2,∴t的取值范围是[2,+∞).【点评】本题考查函数的单调性,函数的奇偶性及其应用等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题. 第16页(共16页)
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