种群连续增长模型的学习过程

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1、Http://www.fhedu.cn种群连续增长模型的学习过程唐晓春（江苏省南京师范大学附属扬子中学210048）13913358395chuncome@163.com摘要：本文针对学生提出的问题“种群S型曲线为何在K/2时增长率最大”，笔者通过多种渠道寻求答案，并通过科学的数学证明补充了高校教科书的不严谨之处，也对“K/2”的实际应用提出了自己的见解。关键词：连续增长模型逻辑斯谛方程种群增长率1.发现问题笔者在对必修3《种群数量的增长规律》（苏教版）教学时，在对种群“S型”曲线进行分析要使种群达到可持续性发展的目的不应在K值进行捕捞或砍伐，此时增长率为0，不利于种群的恢复

2、，而应在增长率最大时处理最合理，并告诉学生K/2时是种群增长率最大点。课后，有学生问我：“为什么种群在K/2时是增长率最大点？”我当时一怔，说老实话，这两年教学中，我对此知识点也是知其结论。也知道种群数量增长规律中有个逻辑斯谛方程，但未深入了解。现在学生一问，便暴露出问题，套用现在的网络语言“汗直下”，急需解决。2.解决问题2.1上网，百度输入关键句“为什么种群数量在K/2时增长率最大”搜索出种群相关知识若干，但未找到相应的解答，未解决2.2上网，到教育权威网站“人教网”在生物专栏中查找，未果。2.3查阅教师必备资料，生物知识大全《普通生物学》①一书，细细读来，该部分内容较详

3、细的把“J型”和“S型”曲线进行了分析，也介绍了“S型”曲线的逻辑斯谛方程，但未对其进行生活和生产上的实际应用举例，故对“S型”曲线中增长率何时最大并未说明，也未解释。2.4翻阅《普通生态学》②，该书是对生态学规律的研究和实际应用，其中也解释了“S型”曲线中增长率何时最大，现把学习结果向各位汇报一下：2.4.1与种群密度无关的连续增长模型在世代重叠的情况下，种群以连续的方式变化。这种系统的动态研究涉及到微分方程。把种群单位时间内变化率dN/dt（种群增长率）与任何时间的种群大小N(t)联系起来。最简单的情况是有一恒定的每员增长率r，它与密度无关，即=rN其积分式为Nt=N0e

4、rt（e为自然对数的底,N0为种群起始数量）以种群大小N(t)对时间作图，则表现出种群增长曲线呈现为“J”型。2.4.2与种群密度有关的连续增长模型此模型有两点考虑：①存在一个环境最大容纳量（通常以K表示，当N(t)=K时，种群为零增长，即dN/dt=0；②增长率随密度上升而降低，每增加一个个体，就利用了1/K的“空间”，N个体就利用了N/K“空间”，而可供种群继续增长的“剩余空间”只有（1－N/K）。即凤凰出版传媒集团　版权所有　　网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-83657815　　Mail：admin@fhedu.cn　　　Http://www.f

5、hedu.cn=rN（1－N/K）这就是生态学发展史中著名的逻辑斯谛方程。其积分式为Nt=（a取决于N0）逻辑斯谛增长中各项数值的变化(设N0=1，r=1，K=100)rNrNN/K1－N/KdN/dt1.0110.010.990.991.010100.100.9091.025250.250.7518.751.050500.500.50251.075750.750.2518.751.090900.900.1091.01001001.0000据此，逻辑斯谛曲线被划分为五个时期：①开始期，也可称潜伏期，由于种群个体数很少，密度增长缓慢；②加速期，随着个体数增加，密度增长逐渐加快；

6、③转折期，当个体数达到饱和密度一半（即K/2时）密度增长最快；④减速期，当个体数超过K/2以后，密度增长逐渐变慢；⑤饱和期，种群个体数达到K值而饱和。3.问题延伸f(N)0KNK/2《普通生态学》教科书中对于逻辑斯谛方程的变化规律是用具体数值来进行演算的（见上表），由数值的变化看出K/2时，种群增长率达到最大值，并未给出科学证明。总让人产生疑问：其他数值到底咋样？好像不够严谨？我们可以对逻辑斯谛方程=rN（1－N/K）进行如下分析：该方程中可把r和k视为常数，那么此方程可看作是关于N的二次方程，即f(N)=rN（1－N/K）,此函数的特征①二次项系数小于0，曲线开口向下，存在

7、最大值，②与横轴的交点：即rN（1－N/K）=0的解，N=0或N=K，③该二次函数曲线是关于N=K/2的对称。（如右图）据此可知，当种群数量N达到K/2时，增长率达到最大值。4.拓展问题凤凰出版传媒集团　版权所有　　网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-83657815　　Mail：admin@fhedu.cn　　　Http://www.fhedu.cn在上网搜索种群数量变化规律相关知识后，还发现了同行对于在k/2进行实际应用时持两种观念：部分人认为种群数量在k/2时，增长率最大，此点