参数方程和极坐标专项训练

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1、第十三章参数方程和极坐标专项训练【例题精选】：例1：曲线的参数方程为，则曲线是：A．线段B．双曲线一支C．圆弧D．射线答案：A。分析由，将其代入，整理得：。故该曲线是直线上的一条线段，故选A。例2：参数方程表示：A．双曲线一支，这支过点B．抛物线一部分，这部分过点C．双曲线一支，这支过点D．抛物线一部分，这部分过点答案：B。分析因为因此，参数方程表示抛物线的一部分，这部分过点，故选B。例3：等腰直角三角形ABC，三顶点A、B、C按顺时针方向排列，是直角，腰长为a，顶点A、B分别在x轴y轴上滑动，求顶点C的轨迹方程（要求把结果写成直角坐标

2、系的普通方程）分析设点C的坐标为，不易直接建立之间的关系，所以可考虑建立之间的间接关系式，即参数方程。完全确定了顶点C的位置，即顶点C的位置是的函数，所以可选为参数。解：如图所示，设，则C点的参数方程为：消去参数，得普通方程为：小结：与旋转有关的轨迹问题，常选角为参数。例4：已知线段=4，直线l垂直平分于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、，使。求直线BP与直线的交点M的轨迹方程。分析以O为原点，轴建立一直角坐标系，如右图所示，则。如图可知，当P点的位置一定时，点的位置完全确定，从而完全确定了M点的位置，所以可选P点的坐标

3、为参数。解：设，则由，得。直线BP的方程为：直线的方程为：两直线方程化简为：解①和②组成的方程组。可得直线BP与的交点坐标为：消去参数a，得：所求点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆，但不包含点B和。本题也可将直线BP和的方程变形为：⑤、⑥两式相乘，得小结：本题第二种解法，即交轨法。它是求两条曲线系交点轨迹的常用方法，这种方法不解方程组，而是直接由方程组消去参数而得交点的轨迹方程。例5：直线相切，则直线的倾角为：A．B．C．D．答案：A分析将参数方程化为普通方程，直线为，圆为。它们相切的充要条件是：圆心到直线的距离。解得例6：已知直

4、线方程，则两直线的交点与点P(1，－5)间的距离是。答案：分析1将已知直线的方程化为普通方程：，再与直线联立，解得两直线交点，所以。分析2将已知直线方程代入，解得，则两直线交点，所以。例7：求椭圆上的点到直线的最大、最小距离。解：椭圆上任意一点的坐标可设为，则点P到直线的距离为：小结：圆锥曲线的参数方程，，多用于设圆锥曲线上点的坐标为参数形式，以使曲线上点的坐标所含变量个数减少。例8：已知直线点，倾斜角为，且与圆相交于A、B两点，则

5、AB

6、=。答案：6。分析易知直线的参数方程为：即把直线的参数方程（*）代入圆的方程中，整理得。根据参数t

7、的几何意义知，

8、AB

9、=6例9：在极坐标系中，点的关系是：A．关于极点成中心对称B．表示同一个点C．关于极轴成轴对称D．关于过极点与极轴垂直的直线成轴对称答案：D。分析在极坐标系中，作出点与点，如图所示，所以选D。例10：在极坐标系中，已知等边三角形ABC的两个顶点是，那么顶点C的一个坐标可能是：A．B．C．D．答案：B。分析在极坐标系中，以AB为边作等边三角形，可得如图所示，其中点C，故选B。例11：极坐标方程所表示的曲线是：A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线答案：B。分析将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断曲线的形状，因为给定的不恒

10、等于零，用同乘方程的两边得：化直角坐标方程为：，这是以点为圆心，半径为的圆，故选B。例12：极坐标方程所对应的直角坐标方程为。分析，去分母得，，小结：极坐标方程化为直角坐标方程是重点，在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合。例13：极坐标方程表示的曲线是：A．一个圆B．一射线及一个圆C．两条直线D．一条直线及一个圆答案：D分析方程，可分解为，，表示一条直线。表示一个圆，故选D。小结：判断极坐标方程所表示的曲线，有两条途径：一是化为直角坐标方程；二是通过对方程的化简、分析，转化为熟知的极坐标方程（如直线、圆、圆

11、锥曲线）例14：在极坐标系中，与圆相切的一条直线方程是：A．B．C．D．答案：B分析该题既可以化为直角坐标方程求解，也可以直接利用极坐标方程求解。用极坐标方程求解。在极坐标系中作出圆（如图所示），它是以为圆心，为半径的圆，在给出的四个选择支中只有是它的切线，故选B。【专项训练】：（60分钟）一、选择题：1、参数方程表示的曲线是：A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆2、参数方程所表示的曲线是：A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线的一部分3、参数方程所表示的曲线是：A．直线B．两条射线C．线段D．圆4、下列参数方程（t是参数）与普通方程表示同一曲

12、线的方程是：A．B．C．D．5、直线（t为参数）的倾斜角是：A．B．7C．11D．166、已知点M的极坐标为那么过点M且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：A．B．C．D．7、极坐标方程表示的曲线是：A．圆B．