《含参变量的积分》doc版

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2、袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆膃芆蒀羂膂莈蚅袇芁蒀蒈螃芀膀蚃虿芀节蒆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芆螀螆芆荿薃肅莅蒁螈羁莄薃薁袇莄芃螇螃羀蒅蕿蝿罿薈袅肇羈芇蚈羃羈莀袃衿羇蒂蚆螅羆薄葿肄肅芄蚄羀肄莆蒇袆肃蕿蚃袂肂芈薅螈肂莀螁肆肁蒃薄羂肀薅蝿袈聿芅薂螄膈莇螇蚀膇葿薀罿膆腿螆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆膃芆蒀羂膂莈蚅袇芁蒀蒈螃§12.3.含参变量的积分教学目的掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则．教学要求(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．一、含参变量的有限积

3、分设二元函数在矩形域有定义，一元函数在可积，即积分存在.都对应唯一一个确定的积分（值）.于是，积分是定义在区间的函数，表为称为含参变量的有限积分，称为参变量.定理1.若函数在矩形域连续，则函数在区间也连续.★说明：若函数满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序.定理2.若函数与在矩形域连续，则函数在区间可导，且，有，或.简称积分号下可微分.★说明：若函数满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.定理3.若函数在矩形域连续，则函数在区间可积，且15.简称积分号下可积分.★说明：若函数满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下

4、限也含有参变量，即.但，对应唯一一个积分（值），它仍是区间的函数，设.下面给出函数在区间的可微性.定理4.若函数与在矩形域连续，而函数与在区间可导，，有，则函数在区间可导，且二、例（I）例1.求函数的导数解：，暂时固定，，使，显然，被积函数与在矩形域都连续，根据定理2，有.因为使，所以，有.例2.求.15解：，暂时固定，，使，显然，被积函数及其关于r的偏导数，即与在矩形区域连续，根据定理2，有=设（万能换元），有=从而，.于是，（3）又有.将在做连续开拓.令函数在区间连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有.已知，有.于是，.例3.证明：若函数在区间连续，则函数15是微分方程的解，并满足条件.

5、证明：逐次应用定理4，求函数的n阶导数，有=，，即函数是微分方程的解，显然，当时，.例4.证明：若函数存在二阶导数，函数存在连续导数，则函数是弦振动方程的解.证明：根据定理4，有15于是，即是弦振动方程的解例5.求积分.解法一应用积分号下积分法.解：函数的原函数不是初等函数，函数在0与1没定义，却有极限..将函数在0与1作连续开拓，即从而，函数在区间连续.已知而函数在闭矩形域连续，根据定理3，有.解法二应用积分号下微分法.解：设15根据定理2，有.两端求不定积分，有令，有，即于是，令，有三、含参变量的无穷积分设二元函数在区域有定义。，无穷积分都收敛，即都对应唯一一个无穷积分（值）.于是，是区间

6、的函数，表为，称为含参变量的无穷积分，有时也简称无穷积分，是参变量.定义设，无穷积分收敛，若有则称无穷积分在区间I一致收敛。例6.证明：无穷积分在区间[a,b](a>0)一致收敛.证明：设,求无穷积分（将u看做常数）设有已知有15使不等式成立，解得。取于是，有即无穷积分在区间一致收敛.定理5（柯西一致收敛准则）无穷积分在区间I一致收敛，有.定理6.若有，且无穷积分收敛，则无穷积分在区间一致收敛。例7.证明：无穷积分在区间一致收敛证明：有已知无穷积分收敛，根据定理6，则无穷积分在区间一致收敛.例8.证明：无穷积分在R一致收敛证明：，有.已知无穷积分，则无穷积分在R一致收敛。定理7.若函数在区域(

7、a>0)，连续且在D有界，即，有则当时，无穷积分在区间I一致收敛.15例9.证明：无穷积分在区间一致收敛。证明：因为有，所以0不是被积函数的瑕点，因此将被积函数在0作连续开拓。首先证明无穷积分在区间一致收敛由§7.2例6，有,有于是，函数在区域D有界，根据定理7，无穷积分在区间一致收敛，再根据柯西一致收敛准则，无穷积分在区间一致收敛.定理8.若函数在区域，连续且无穷积分在区间一致收敛。则函数在区间