数学研究与评论

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1、第18卷第2期数学研究与评论Vol.18No.21998年5月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONMay1998XNovikov-Poisson代数和它们的张量积陈　宏　基(惠州大学数学系,广东惠州516015)摘　要　本文给出Novikov2Poisson代数的定义和例子,介绍了它们的张量积理论,对于两个给定的Novikov2Poisson代数的张量积构造了一个Novikov2Poisson代数结构和一个Novikov2Poisson代数模的结构.关键词　Novikov代数,Nov

2、ikov2Poisson代数,张量积,模,不可约模.分类号　AMS(1991)17A30,17D25öCCLO152.5[1]1985年Balinskii和Novikov最先给出Novikov代数的定义并用它来解决流体力学的有关问题.特征0的Novikov代数的例子是由Kleinfeld和Filippov给出的.Zelmanov证明了特征0的有限维单Novikov代数都是一维的.Osborn对特征p有限维单Novikov代数展开了全面的研究,得出许多优美的结果.在这篇文章里,将给出一类特殊的Novikov代数——Novikov2P

3、oisson代数的定义和例子,并讨论了它们的张量积.对于两个给定Novikov2Poisson代数的张量积构造了一个Novikov2Poisson代数结构和一个Novikov2Poisson代数模的结构.定义1设F是一个域,A是F上的向量空间,对任意x1,x2,x3∈A,A上的代数运算“.”满足:(x1üx2)üx3=(x1üx3)üx2;(1)(x1,x2,x3)=(x2,x1,x3),(2)这里(x1,x2,x3)=(x1.x2).x3-x1.(x2.x3).就称(A,.)为一个Novikov代数.定义2设F是一个域,A是F上

4、的一个向量空间,“·”和“.”是A上的两个代数运算.若(A,·)是一个交换结合代数,(A,.)是一个Novikov代数且满足如下条件:对任意x1,x2,x3∈A,有(x1üx2)õx3=(x1õx3)üx2=x1õ(x3üx2)(3)和(x1üx2)õx3-x1ü(x2õx3)=(x2üx1)õx3-x2ü(x1õx3),(4)称(A,·,.)为一个Novikov2Poisson代数.定义3设F是一个域,(A,.)是一个Novikov代数,M是F上的一个向量空间.若存在两个双线性映射A×M→M和M×A→M使得(1)成立对于任意x1

5、,x2,x3之一属于M而另两个属于A,称M为(A,.)的一个模.设Lx表示x的左乘运算和Rx表示x的右乘运算,即X1995年5月26日收到.—269—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.对于x∈A,u∈MLx(u)=xüu,Rx(u)=uüx.(5)若Lx=Rx=0,Px∈A.称M为(A,.)的平凡模.若M′是M的子空间且Lx(M′),Rx(M′)

6、称模M为不可约的.假定(A1,·,.)与(A2,·,.)是两个Novikov2Poisson代数,在它们的张量积A1áA2上定义两种代数运算“·”和“.”如下:对任意x1,y1∈A1,x2,y2∈A2(x1áx2)õ(y1áy2)=x1õy1áx2õy2,(7)(x1áx2)ü(y1áy2)=x1üy1áx2õy2+x1õy1áx2üy2.(8)定理1(A1áA2,·,.)构成一个Novikov2Poisson代数.证明　首先证明(A1áA2,.)是一个Novikov代数.设x1,y1,z1∈A1,x2,y2,z2∈A2,那么[(

7、x1áx2).(y1áy2)].(z1áz2)=(x1.y1áx2·y2+x1·y1áx2.y2).(z1áz2)=(x1.y1).z1áx2·y2·z2+(x1.y1)·z1á(x2·y2).z2+(x1·y1).z1á(x2.y2)·z2+x1·y1·z1á(x2.y2).z2=(x1.z1).y1áx2·z2·y2+(x1·z1).y1á(x2.z2)·y2+(x1.z1)·y1á(x2·z2).y2+(x1·z1)·y1á(x2.z2).y2=[(x1áx2).(z1áz2)].(y1áy2),(9)因此对于(A1áA2,

8、.),(1)式成立.而(x1áx2).[(y1áy2).(z1áz2)]=(x1áx2).(y1.z1áy2·z2+y1·z1áy2.z2)=x1.(y1.z1)áx2·y2·z2+x1·(y1.z1)áx2.(y2·z2)+x1.(y1·z1)á