经济数学(定积分习题及答案)

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1、第六章定积分习题6—11.利用定积分的定义，计算由抛物线直线x=a,x=b及兀轴所围的图形的面积S（0

2、(2刃+1)"T8拜—>86/?2=(h-a)a2+=-(b-a)(a2+ab+b2)=-(b3-a3)[bx2(h=—(b3-a3).J“32.利用定积分的定义，计算下列积分：•1xdxoAx=-解（1）将区间等分，则每个小区间的长均为'一齐，J~i-]_rn*」，取小区间的右端点旺“ni]]H-一=—因为z=l/=!nnn/=1limSn=lim川小）=-两端取极限，得"TOO”too2n22“丄°2.厂个小区间为L所以丁•是第左=—/(^)=—(z=1,2,•••,/?)为盒，即'斤，则'n〃(n+l)小区间为/?,取小区间的右端点兀•为■/i———=-(en)1+(宀乎+

3、•••+(◎)"因为丄1几一1)"e^-1两端取极限，得1en-1=lim>oo所以•1exdx=e-1o2•利用定积分的几何意义,说明下列等式:⑴J。3/rj7cos兀(2)2dx=07T：cosx(4)2dx=2Jo2cosx,axi在第一彖限的方程为y二所以根据定积分的几何意义知Ml-"&为单位园在第一象限的面积.⑵因为当2~~2时，曲线y=cosx在X轴的上方和下方的曲边梯形的面积相等•所以根据定积分的几何意义知，2J：cosxdx=071-~'=sinx在;v轴上方和下方的曲边梯形的面积相等，所以根据定积分的几何意义知，27t71(4)

4、因为y=cosx在L2'2」上为偶函数，其图形关于)'，轴对称且龙J；cosxdx=7T的皿都在x轴的上方，所以根据定积分的几何意义知,4.将下列极限表示成定积分：..z111、lim（——+——+•••+）川T814nYI4-—H+—斤〃兀nlim—•+1)(刃+2)・・・(2比)(2)〃T8,7（1）因为所以(2)1+1,?+-n1+…+4n+-n1+(-)2n=-xn/=11+(-)2nrz11lim(+7HF"->814n+—n+nn“1・=limVi/=!1+(l)^"n1-n+n+…+1+(导n2)n,?+-n人y二丄•&5+1)5+2)...(2/?)令n,贝I」I

5、n•[ln(/2+1)+ln(/2+2)—+ln(2〃)]-innn=丄•[(n+1)+ln(/?+2)+…+ln(2«)一nInn]n=—・ln(lH—)+ln(lH—)+…+ln(lH—)n”i1因为刎2=魁計（1+詁二脸1+啊.・limlnVfln(l+A-)dv“_」叮—.limy=en^"=e}{)而y~e,"「以U习题6—21•确定下列定积分的符号:f2xInxdx(l)Ji•1sinx-xcos兀,dx0cosx+xsinx⑵Jo2（3）解（1）因为被积函数/（力二幻11兀在［1,2］上连续,且fM>0t但/（兀）不恒等于0,r2十z丄sy-xinxdx>0.所

6、以由性质6知，Ji14一、1一COSXJ(X)=(2)因为被积函数2fjl-COS4X4dr〉0.所以由性质6知，J。2sinx-xcosx(3)因为被积函数Acosx+xsinx在［°川上连续，且f(x)-°,但/(兀)不恒等•1sinx-xcosxt门dx<0.°cosx+xsinx0兰在L'4」上连续,且/（X）>0，但/（X）不恒等于0,于0,所以由性质6知，（4）因为被积函数=1I在卜1,1］上连续，且/（兀）》0,但/（兀）不恒等于0,所以由JJx

7、dx>0.性质6知J-i2.不计算定积分，比较下列各组定积分值的大小.Cx2dx.［（2）Jo与」（•43lnxcLx.

8、［3X3dA*与Jor42InxcLy与J3所以zf'x2dA-［3dx⑴Jo与Jor2f22zInxdx,Inxdx⑶Ji与J】(4)解(1)因为在【°」】上，兀2-尤‘=F(l_x)nO,即x2>x3(Lv>fx3dx.Jo所以所以"2因为在［1,3］上，X2-X3=X2(l-X)<0,即X20lnx>In2JInxdx>In2xdx.X■2所以(4)因为在［