定积分习题及答案

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1、第五章定积分(A层次)1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．。(B层次)1．求由所决定的隐函数对的导数。2．当为何值时，函数有极值？3．。314．设，求。5．。6．设，求。7．设，求。8．。9．求。10．设是连续函数，且，求。11．若，求。12．证明：。13．已知，求常数。14．设，求。15．设有一个原函数为，求。16．设，在上，求出常数，使最小。17．已知，求。3118．设，求。19．。20

2、．设时，的导数与是等价无穷小，试求。(C层次)1．设是任意的二次多项式，是某个二次多项式，已知，求。2．设函数在闭区间上具有连续的二阶导数，则在内存在，使得。3．在上二次可微，且，。试证。4．设函数在上连续，在上存在且可积，，试证()。5．设在上连续，，，求证存在一点，，使。6．设可微，，，，求。7．设在上连续可微，若，则。8．设在上连续，，求证。319．设为奇函数，在内连续且单调增加，，证明：(1)为奇函数；(2)在上单调减少。10．设可微且积分的结果与无关，试求。11．若在连续，，，证明：。12．求曲线在点(0,0)处的切线方程

3、。13．设为连续函数，对任意实数有，求证。14．设方程，求。15．设在上连续，求证：()16．当时，连续，且满足，求。17．设在连续且递减，证明，其中。18．设连续，，，，试证：。19．设是上的连续函数，，试证在内方程至少有一个根。20．设在连续，且，又，证明：(1)(2)在内有且仅有一个根。21．设在上连续，则。3122．设是以为周期的连续函数，证明：。23．设在上正值，连续，则在内至少存在一点，使。24．证明。25．设在上连续且严格单调增加，则。26．设在上可导，且，，则。27．设处处二阶可导，且，又为任一连续函数，则，。28．

4、设在上二阶可导，且，则。29．设在上连续，且，，证明在上必有。30．在上连续，且对任何区间有不等式(，为正常数)，试证在上。第五章定积分(A)1．解：原式312．解：令，则当时，当时原式3．解：令，则当，时分别为，原式4．解：令，则，当，1时，原式5．解：令，31当时，；当时，原式6．解：令，则，当时原式7．解：原式8．解：原式9．解：原式10．31解：∵为奇函数∴11．解：原式12．解：∵为奇函数∴13．解：原式3114．解：原式15．解：原式16．解：原式31故17．解：原式18．解：原式故19．31解：原式20．解：原式21．

5、解：令，则原式3122．解：原式23．解：原式24．解：原式31故25．解：令，则原式∴故(B)1．求由所决定的隐函数对的导数。解：将两边对求导得∴2．当为何值时，函数有极值？解：，令得当时，31当时，∴当时，函数有极小值。3．。解：原式4．设，求。解：5．。解：6．设，求。31解：当时，当时，当时，故。7．设，求。解：8．。解：原式9．求。31解：原式10．设是连续函数，且，求。解：令，则，从而即，∴11．若，求。解：令，则，当时，当时，∴从而12．证明：。证：考虑上的函数，则，令得当时，31当时，∴在处取最大值，且在处取最小值故

6、即。13．已知，求常数。解：左端右端∴解之或。14．设，求。解：令，则15．设有一个原函数为，求。解：令，且3116．设，在上，求出常数，使最小。解：当最小，即最小，由知，在的上方，其间所夹面积最小，则是的切线，而，设切点为，则切线，故，。于是令得从而，又，此时最小。17．已知，求。解：18．设，求。解：设，，则31∴∴解得：，，于是19．。解：原式20．设时，的导数与是等价无穷小，试求。解：故(C)1．设是任意的二次多项式，是某个二次多项式，已知，求。解：设，则31令于是，，由已知得2．设函数在闭区间上具有连续的二阶导数，则在内存

7、在，使得。证：由泰勒公式其中，位于与之间。两边积分得：令，则，。3．在上二次可微，且，。试证。证明：当时，由，知是严格增及严格凹的，从而及31故4．设函数在上连续，在上存在且可积，，试证()。证明：因为在上可积，故有而，于是5．设在上连续，，，求证存在一点，，使。证：假设，由已知，，得故31从而∴因为在连续，则或。从而或，这与矛盾。故。6．设可微，，，，求。解：令，则，显然于是。7．设在上连续可微，若，则。证：因在上连续可微，则在和上均满足拉格朗日定理条件，设，则有故。8．设在上连续，，求证。31证：令，则于是故9．设为奇函数，在内

8、连续且单调增加，，证明：(1)为奇函数；(2)在上单调减少。证：(1)∴为奇函数。(2)由于是奇函数且单调增加，当时，，，故，，即在上单调减少。10．设可微且积分的结果与无关，试求。解：记，则由可微，于是31解之（为任意常数）11．若