汇编浅析解析几何教学中应渗透平面向量方法

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1、2012年全国高考模拟参考部分解析几何教学中应渗透平面向量方法武山县第三高级中学王建华平面向量是高中数学教材改革新增加的内容之一，它是既有大小，又有方向的一个儿何量•也就是说，平面向量既能像实数一样进行运算，也有直观的几何意义，是数与形的有机结合，可灵活实现形与数的相互转化•平面向量理论渗透在解析几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题，其方法是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理、求解问题转化为向量运算，完全变成了代数问题.确定直线的两个重要向量1、直线的方向向量由Pi(xi,yi)、P2我们已经知道，两点确定一条直线，把直线上任意两点的向量或与它平行

2、的向量都称为直线的方向向量•如图1,(x2,y2)确定直线Pf2的方向向量是P$2=(x2-xi,y2-yi)・当直线P1P2与X轴不垂直时有X2HX],这时直线的斜率为儿一力P

3、P2也是直线Pf2的方向向量，它的坐标是_兀1~X(x2-xHy2-yi)•GP(hk)就是直线PiP2的方向向量，其中k是直线PR的斜率•2、直线的法向量和直线垂直的向量都称为该直线的法向量•如图2,设直线1有法向量n=(A,B),且经过点Po(x(”y(J,取直线1上任一点P(x,y),满足n丄P°P,因为陥=(x-x0,y-y0)，根据向量垂直的充要条件得A(x-x。)+B(y-yo)=0

4、这个二元一次方程由直线1上一点Po(x0,y0)及直线的法向量n=(A,B)确定，称为直线的点法式方程.反过来，如果直线1有一般方程Ax+By+C=O(A、B不同时为0),(1)若AZO时，该方程可化为A(x+£)+B(y・0)=0A这是过点(・£,0),且法向量为n=(A,B)的点法式直线方程；A(2)若BHO时，该方程可化为A(x・O)+B(y+_

5、)=O这是过点(0厂£)，且法向量为n二(A,B)的点法式直线方程.B因此,n=(A,B)就是直线Ax+By+C=O的法向量.设向量a二(BA)，由a与n的数量积a•n=-BXA+AXB=0所以a丄n,从而向量a=(-B,A

6、)是直线Ax+By+C=O的方向向量.由于直线的方向向量、法向量可以从直线的一般式直接写出，应用这两个重要向量解决某些问题比较便捷.平面向量与直线间的位置关系设直线h与12的方程分别是11:Aix+Biy+Ci=O12:A2x+B2y+C2=0那么,H

7、=(A〕，Bi)和n2=(A2,B?)分别是直线h与12的法向量.⑴如果h〃12，那么ni〃i>2,而Hi〃ii2的充要条件是m二Xn2(A[=入A2得IB

8、=xB2,消去入得A]B2-A2B

9、=0由此可知,A]B2-A2B]=0是直线11〃12的充要条件•当A2B2H0时可表示为A=A,即对应坐标成比例.码B2(2)如果1

10、]丄12,那么ni丄112,反过来也正确•而m丄匝的充要条件是Hi•112=0,得AiA2+B1B2=0,所以直线h丄12的充要条件是AlA2+B]B2=0.例1(1998年上海高考卷16题)设a、b、c分别是ZXABC中ZA、ZB、ZC的对边的边长，则直线sinA・x+ay+c=0与直线bx-sinB・y+sinC=0的位置关系是A平行B重合C垂直D相交但不垂直解析：易知两直线的法向量分别是ni=(sinA,a)和n2=(b,-sinB)由正弦定理知一纟一=—9—,即bsinA+a(-sinB)=OsinAsinB/.m•112=0有m丄112，所以两直线是垂直的，选c.

11、(1)更一般地,由直线的法向量可求两直线的夹角•设直线h与12的夹角为Q,其法向量的夹角为e,则Q=E或(I=兀・0,所以cosa=

12、cos0

13、.由向量的夹角公式COS0=厲化，及小・I12=A]A2+BiB2、丨®

14、•

15、丨Im

16、=Ja：+、Iihl=Ja；+圧得两直线的夹角公式为coscr=丨人场+IJA；+B；JA；+B；例2(2000年全国高考文科8题)已知两直线li：y=x」2：ax-y=0,其中a为实数，当这两条直线的夹角在(0,誇)内变动时,a的取值范围是A(0,l)B(半，侖)C(£,l)u(l,V3)D(l,a/3)解析:两直线的法向量分别为(1,・1)、(

17、a,-l)，由夹角公式得cosa=/(Q+l)2*2(/+1)夹角a在(0,备)变动时,X厶有cosaw(――,1)，于是得4解这个不等式得分a0，即a•b>0(2)若6为直角oXix2+yiy2=0,即a•b=0(3)若B为钝角oXix2+yiy2<0,即a•b<0