平面向量分坐标表示——向量数量积-教案设计

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1、向量的数量积教案1、两个向量的数量积:⑴设两个非零向量a=OA与b=称ZAOB二&为向量。与b的夹角，(0<<9<180),当非零向量a与b同方向时，&=0,当a与b反方向吋0=180,0与其它非零向量不谈夹角问题。(2)数量积的定义：a-b=a-bcos0，叫做d与b的数量积；规定0a=Q,其中bcoEw/?,叫向量b在。方向上的投影。2、数量积的几何意义：a・b等于。的长度与b在。方向上的投影的乘积.3、平而向量数量积的运算律：①交换律成立：a-h=ha②对实数的结合律成立：(加)=2(a・b)=a.(")(/leR)③分酉己律成立：［a±b^c=a-

2、c±bc=c-^a±b^④乘法公式成立:a+b)・(a_b)=a__b_=a-b222a±h]-a±2a・/?+/?2±2a-h+h特别注意：(1)结合律不成立：；(2)消去律不成立a・b=a・c不能得到b=c(3)ab=0不能得到d=0或b=04、两个向量的数量积的坐标运算：已知a=(^,y1),/?=(x2,y2),则d・b二兀內+必力5、向量数量积的性质：(1)d丄50—5=0。兀］兀2+丁1丁2=0(2)当a与方同向时，a-b=a-b,当a与b反向时，a-b=-a-b,一般地a-b^a-b,特别地：a-a=a^——向量运算

3、与模的转化。(3)求夹角:cos0-cos=C"二兀］兀2+『』2"J%,+必2.上；+)寸若d・b>0则夹角为锐角或0°；若ab<0则夹角为钝角或180°o(2)e-a=a-e=acos0。平面向量分解定理:如果弓，勺是平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数人,人，使。=人弓+人丘2'我们把不平行的向量弓,勺叫做这一平面内所有向量的一组基。特别：•若丽=入少+人OB，则入+易=1是三点P、A、B共线的充要条件.注意：起点相同，系数和是1。名题精解例1・设厅=(5,-7),b=(-6,-4),求0•方ab=5x(

4、-6)+(-7)x(-4)=-30+28=-2例2・已知A(l,2),B(2,3),C(-2,5),求证：ZXABC是直角三角形.证明:J力3=(2-1,3-2)=(1,1),AC=(-2-1,5-2)=(-3,3)/.Afi-AC=lx(-3)+1x3=0:.AB丄入乙•••△ABC是直角三角形例3・已知a=3,b=5,且ab=12,则。在b的方向上的投影为例4・设a、b是两个非零向量，则+是a丄b的(C)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件例5.已知向量d=（cosa,sina）,b=（V§,-l）,则2a-b的最大

5、值为4例6・已知d=（_l,2）,A（2,l）,4B//a且岡=2厉,求点B的坐标。（0,50（4,-3）例7・已知°=（3,-1）,b=（1,2）,求满足=9与x•方=-4的向量兀・・・・x=(2,-3)例8・已知°=（1,石）上=（內+1,巧—1）,则d与厶的夹角是多少?解：由0=（1,馆），方=（馆+1,-1）有7巧=馆+]+馆（侖_]）=4,a=2,b

6、=2V2a'b_V2—-a•Z?2记$与“的夹角为&,则cose=71XV0

7、直角△ABC,使ZB=90°,求点B和向量AB的坐标.解：设方点坐标（兀,y）,则。〃=（兀,y），AB=（兀一5,y-2）・.・。〃丄AB.・・x（x-5）+）G—2）二0即：%2+/-5x-2y=0又-B=AB・・・/+于二（兀_5）2+（）_2）2即：io兀+纱=29x2+y2-5x-2y=010x+4y=297=—773373773・•・方点坐标（2~2｝或〒2）；~2｝或「〒于例10•在AABC中，AB二（2,3）,AC二（1,Q,HAABC的一个内角为直角，求k值.__2解：当/二90。时，乔.AC二°,・・.2xl+3x£二0:.k

8、=亍当方=90°时,ABBC=o9BC=AC-AB=(1-2,k-3)=(-1,k-3)・・・2x(—l)+3x伙—3)二0:.k=3一一3±Vil当C=90°时，AC.BC=o,・・・一1+R伙一3)=0:・k=2例11・已知a、5都是非零向量，且a+3厶与7a-5厶垂直，a一4乙与7ci-2厶垂直，求a与B的夹角.解：曲（&+3^）（7万_5b）=0=>7万2+]6刁"_15^2=0①（万-4^）（75_2b）=0=7万2_30万・方+8^2=0②两式相减：2刁巧二卩2代入①或②得：a2=ab_h2_1设万、方的夹角为0,则cos6」％l2

9、肝2.-.

10、0=60°例12.求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方