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1、§6排队系统的优化一、排队系统的优化问题冇两类最优设计二静态问题：系统设计的最优化;（运行询）最优控制二动态问题：系统控制的最优化;（运行中）只讨论静态问题；一般，‘'费川顾客满意，服务成木高；\合并费叱;服务简单，顾客等待多.费用最优化的目标之-是兼顾两者，使之合理.极小服务水平方法：数学中的极值原理，或经济中的边际法.二、MM/模型中最优服务率“1.模型优化设c,为单位时间服务成本,5为在系统中逗留费用,则目标函数取为z=cs^+cwL将厶=2/(“-2)代入，得乙=csJLi+cwA/(“-A),令务=—_5—=0,(“一小得服务率应订在“*2.MIMIXIK
2、模型优化顾客被拒概率为几，接受概率-pK,有效进入概率人=2（1-必），即有效到达率.设每服务一个顾客服务机构获G元，则单位时间收入期望值为W~Pk)G利润一(f)—肌爭计A//G（注几=—K—1+mn=l1—QPk=PKP^]_严=<1、K+1令dz/d“=O,得zK_(K+1)q+p"=匚卩(l-pK+,)2_G由此确定岀。，进而确定出使服务系统最优的//*.—般用数值计算方法求解，或图解法.设几,G,K,ct为己知.找出对应的由具体的G/c$,实际做法是：令y=/p,x=G/cs,则上述方程化为一-x=0Kyg一（K+1））K+1clear;clf;ezpl
3、otC(y“2T)，2/(y“2-2*y+l)-x',[0,16])axis([01603])holdon;pause;%%%%%k=2ezplot(，(y"3-l)"2/(2*y"3-3*y"2+l)-x，,[0,16])axis([01603])%%%k二3ezplot(*(y"4T)"2/(3*y"4-4*y"3+l)-x',[0,16])axis([01603])例1对某服务台进行实测，得到如下数据：系统中的顾客数(n):0123记录到的次数(mJ:161975334平均服务时间为lOmin,服务一个顾客的收益2元,服务机构运行单位时间成木为1元问服务率为多少
4、时可使单位时间平均收益最人？解这是M/M/1/3模型,G=2,q=l,下面从现在运行的数据屮，估计出顾客的/L因为亘=如所以Pn-叫-1=+(0.60+0.55+0.64)=0.6由“=1/(10/60)=6(人/h),得1=ppi=0.6x6=3.6(人/h).下面进行优化分析：作当K=3时，x=-与『=丄的关系图,C「Pezplot(，(y"4-l)"2/(3*y"4-4*y"3+l)-x,,[0,16])axis([01603])由—=2,
5、f
6、图得-4=0.825P瓦=X丨p"=3.6x0.82«3（人/h）但然也可作」与。的关系图，同样可由值」=一GG2去
7、求出//=1.21,及=分/p—3.6/1.21=3.收益分析：当“=6（人/h）时，总收益为1_nz=2X3.6」-1x6=0.485（元/h）1-0.64当“二3（人/h）时，总收益为1-1213Z=2x3.6——-1x6=1.858（7G/h）1-1.214单位时间内平均增加收益1.858-0.485=1.373（7U/h）.相当不错.例2考虑一个M/M/1/K系统，具有2=10（人/h）,//=30（A/h）,K=2管理者想改进服务，方案有二个：方案A是增加一个等待空间，即使K=3;方案B是提高平均服务率到“=40（A/h）.设每服务一个顾客的平均收入不变，问
8、哪个方案将获得更大的收入或利润？当2增加到30人/h时，乂将得到什么结果？解：对A:2=10,//=30,K=3,有心=2(1-小兄工1—Q对B:A=10,“=4（）,K=2,有=tI（1-/72）=i（）1_（1/4）；=952（人％）由利润公式z=2（1—心）G_=2G一仁采用A,将获得更多利润.当2T30,而仍“=30,K=3,则/7=1,代入得几=30丄=22.5(人/h),1+1对于A=30,而“=40,K=2,则得1-(3/4)3所以此吋，若考虑增加收益，则应采用B方案.三、M/M/s模型中最优的服务台数c仅讨论M/M/“冰型FL为稳态，设全部费用z=c：
9、•$+cwL.(###)其中：<是每个服务台的单位时间的成本；q是顾客在系统屮逗留单位时间的费用，$是服务台数；厶是平均队由于c；和5是给定的，所以厶是服务台数$的函数,AT记为z=z(s).因为s是整数，所以不易求才，改用边际法.(增减1分析法)由minz=z(/),贝ij^(/)
