导数大题常用的三种思路

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1、导数大题常用的三种思路作者：临汾一中沈怡欣通过对各类导数大题的研究，本人发现好多题目均可以采用三种思路：一是直接构造函数，进而研究单调性，极值，最值；二是先分离参数，再构造函数研究新函数的最值；三时先分离函数，进而研究这两个函数的性质。有些题目可能采取某一种思路可行性更强。下面以一道压轴题为例进行三种思路的说明。例：已知函数f(x)=ex_1+ax,aGR.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)若VxG[1,+oo),f(x)+Inx>a+1恒成立，求a的取值范围解：(1)fz(x)=ex-x+a①a>0

2、f'(x)>0f(x)在R±Z②a<0f'(x)=0ex_1+a=0ex_1=—ax丰ln(—a)xe(—oo,1+ln(—a))、(1+ln(—a),4-oo)Z(2)ex_1+ax+lnx>a+1ex_1+ax>-lnx+a+1=g(x)g(x)、g(x)max=g(l)=a+1hz(t)=1—(Int+1)=—Int=0t=1®a>0,f(x)min=f(l)=l+a>a+l成立思路一：直接构造函数法一：(2)解：设g(x)=ex_1+ax+lnx-a-l(x>1)则g'(x)=ex_1+a+-Xg〃

3、(x)=ex_1x2eX-l_1xeo1>0・・・g'(x)在［l,+8)上单增・・・g«x)>gz(l)=a+2当a>-2时，gz(x)>0,g(x)在［1,+8)上单增/.g(x)>g(l)=0・•・原式成立当a<一2时，存在X。使g(x())=0当xG［l,Xo)时，g'(xo)V0xG(Xo，+8)时，gz(x)>0■■■g(X)min=g(Xo)x+1,Inx

4、=ex_1+a+£又'-'h(x)>0在［l.+oo)恒成立・■•必有hz(l)=l+a+l=a+2>0二必有a>-2而当a>—2,xG(1,+oo)0寸9hz(x)=ex_1+a+->x+-+aXX>2」x・牛+a=2+a>0,h(x)单调递增h(x)>h(l)=0/-f(x)+lnx>a+1故a的取值范围是［-2,+8)析:利用当xE［l,+8)时，h(x)>0,且h(l)=0则必有hz(l)>0,缩小a的范围为a2—2,再证a>-2,符合题意思路二：分离参数法三：(2)解：由ex_1+ax+lnx>a

5、+l,得a(x—1)>-ex_1-lnx+1当x=l时，上式恒成立当x>1时，a>-ex-1-lnx+l_ex-1+lnx-lx-11-x设g(x)=ex-】+lnx-11-xx+lnx-1xri,x、x+lnx-1lnxv设h(x)=—-1,1-x则h'(x)=1-x+xlnxx(l-x)2设(p(x)=1—x+xlnx,则q/(x)=lnxTx>1.・・0(x)>0■■-(p(x)在［1,+8)上单增即H(x)>0・・・h(x)在［l,+8)上单增-B-h(x)>h(l)i+-h(l)=limh(x)=

6、lim—-=—2x->l-1-'-h(x)>-2-B.g(x)<—2思路三：分离函数法四：(2)解：f(x)+lnx>a+l«>ex_1+Inx>—a(x—1)+1令g(x)=ex_1+lnx贝ljg(x)在［1,+8)上是增函数—a52得an—2再如：1、(15山东卷)讨论函数/(x)=ln(x+l)+a(x2-x)的极值点个数。2、关于X的不等式4<7J.恒成立，则实数k的取值范围。exk+2x-xz经研究，分离函数的思路较巧妙，也较简单。