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1、第三讲大角夹半角1、已知：正方形ABCD中，ZMAN=45°,绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CBDC、（或它们的延长线）于点M、No当ZMAN=45°绕点A旋转到BM=DN时（如图1）,易证BM+DN=MN。（1）当ZMAN绕点A旋转到BMHDN时（如图2）,线段BM、DN、和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。（2）当ZMAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。DNC图1DNC图2BM图312、已知四边形ABCD中，AB丄AD,BC丄CD,AB=BC
2、,ZABC=120°,ZMBN=60ZMBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E,F.当ZMBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,易证AE+CF=EF.当ZMBN绕B点旋转到AEHCF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.（图1）（图2）（图3）如图1：在四边形ABCD屮，AB=AD,ZB4D=120。，ZB=ZADC=90o.E、F分别是BC、CD上的点.且ZEAF=60°.探究图中线段B
3、E、EF、FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长FQ到点G,使DG=BE.连结AG,先证明/^ABE^AADG,再证明/AEF^/AGF,可得出结论,他的结论应是_EF=BE+DF；探索延伸：如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E、F分别是BC、CD上的点，且ZEAF=-ZBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；2实际应用：如图3,在某次军事演习屮，舰艇甲在指挥屮心(0处)北偏西30。的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后
4、，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50。的方向以80海里/小时的速度前进」.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰艇Z间的夹角为7()。，试求此时两舰艇Z间的距离？11.如图，AABC是边长为3的等边三角形，ABDC是等腰三角形，且ZBDC=120°,以D为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点交AC于点N,连接MN,则AAMN的周长为B在平面直角坐标系中，0为原点，点A(-2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点。若正方形OEDF绕点0顺时针旋转得正
5、方形OE，D，,记旋转角为Qo(1)如图①当a=90°时，求AEZ,BFZ的长。(2)如图②当«=135°时，求证AEz=BFr,且AE，丄BFS(1)如图1,在正方形ABCD屮，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF二BE。求证：CF二CE。(2)如图2,在正方形ABCD44,E是AB±一点，G是AD上一点，如果ZGCE=45°,请你利用(1)的结论证明：GE二BE+GD。(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3,在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB二90°,AB=BC,E是AB±一点，
6、且ZDCE=45°,BE=4,DE=10,,求直角梯形ABCD的而积。图1图2
