复杂网络上的局域化

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1、第1章绪论要的概叙。1．1复杂网络的结构特征及其数学模型1．1．1复杂网络的结构特征随着计算机技术的发展，海量数据的储存与分析成为可能，人们惊讶地发现：大量真实网络的结构与规则网络和随机网络完全不同，这使得它具有异常独特的统计特性，人们一时难以理解这些复杂的结构，因此称这些网络为复杂网络。当前描述网络结构特点的特征量包括平均距离(averagedistaz耽)、簇系数(clustemgcoe伍cient)、度分布(degreedistribution)、介数(be铆eelllless)等。乎场蹴网络中任何两节点间

2、的距离是指从其中一个节点出发到达另外一个节点所要经过的边的最少数日。将网络中任何两节点对的距离做平均就得到了网络的平均距离。燕赛戮单个节点簇系数定义为它所有的邻居节点中仍然是邻居占总的可能性的百分比。举个例子来说，如果某个节点有5个邻居，如果它们之间都是邻居，那么它们之间就有10条边，但实际上这些节点间只有6条边，那么该点的簇系数就是6／10=0．6。将网络中所有节点的簇系数做平均，就得到了网络的簇系数。度黼某个节点的度表示连接到该节点上的边的数目，也就是该节点的邻居数。通常情况下，网络中不同节点的度并不相同，因

3、此网络中度的分布规律也是刻划网络特点的一个重要参量。当然，描述网络结构的特征量还有很多，这里就暂不一一介绍，在使用到它们的地方再给出详细的说明。2第l章绪论(a)参．；Ml7确-●I(c)图1．1几种网络构型：(a)近邻耦合网络，(b)随机网络，(c)科学家合作网(复杂网络)。【参考文献25】◆●◆‘￥．▲泰冷．第l章绪论k图1．2几种真实网络的度分布：(a)路由层的因特网，数据来自R锄eshG捌Ild雒；嘞演员合作网渗考文献20】：(c)高能物理科学家合作网【参考文献27】；(d)神经学科学家合作网。【参考文献

4、28】下面我们通过与规则网络、随机网络的结构特征量的比较来了解复杂网络的结构特点。图1．1给出了几种网络构型图，其中图1．1(a)是一种规则网络，被称作近邻耦合网络，在这样的网络中，节点排成一圈，首先最近邻的节点被连接起来，然后再将次近邻的节点连接起来⋯⋯直到距离为肌的节点连接起来，每个节点只与该环上它的最近邻、次近邻、直到第m近邻相联接。在该图中所=2。对于Ⅳ节点的近邻耦合网络，网络平均距离己～M册，即网络的平均距离随着网络规模的增大线性增长；所为2的近邻耦合网络的簇系数仁O．5，比较大；所有节点的度都相同，即

5、度分布满足艿函数的形式。图1．1(b)是随机网络，该网络可以通过这样的方式建立：首先确定网络中的节点数目Ⅳ，任意一对节点以概率p连接，最后所形成的网络中大约有第1章绪论pIⅣ(Ⅳ一1)／2条边。在随机网络中，网络的平均距离在网络规模足够大时有理论结果￡=logⅣ／log【p(Ⅳ一1)】，簇系数唧，度分布满足泊松分布(P0issondistribution)。图1．1(c)是科学家合作网【221，是一种复杂网络。现实中的复杂网络往往同时具有小世界性和无尺度性质。小世界统计特性包括：平均距离三～109Ⅳ，即网络的平均

6、距离非常小，与网络的规模不可比拟，并且随着网络中节点数目的增加，网络的平均距离增加得非常缓慢；簇系数通常比较大；无尺度特性指，节点的度分布满足幂率分布(Powar．iawdistribution)【1击，8·10t23埘，26】：如果用岛表示第f个节点的度，那么网络中节点的度分布p@具有这样的形式p∞)～七，，厂是幂指数，通常介于2到3之间，图1．2画出了几种真实网络的度分布曲线。由于网络中度的分布满足标度不变性，因此具有该性质的网络也被称作无标度网络。无标度网络中度的分布可以跨越几个数量级，使得网络中允许度极大

7、的节点存在，这是无标度网络的独特性质。表1．1给出了这三种网络结构特性的定性的比较结果，可以看到复杂网络与规则网络和随机网络既有共性，又具有自己独特的性质。表1．1三种网络结构的定性比较～＼平均距离簇系数度分布规则网络大6函数随机网络小泊松分布复杂网络小大幂率分布1．1．2复杂网络的两个主要数学模型现实复杂网络中小世界和无尺度特性普遍共存，也就是：平均距离比较短，簇系数比较大，节点的度服从幂率分布。科学家们设计出各种各样的复杂网络模型来体现复杂网络的这些特性，其中最简单并最广为人知的是WS小世界网络模型【18，1

8、91和BA无标度网络模型【20．2¨。下面我们就分别对它们进行介绍。第1章绪论阿蛋小世夯网络模型1998年W矾s和Strogatz提出该网络模型：从近邻耦合网络出发，将网络中的每一条边以概率p断开再重新连接到其它节点上去，在这个操作过程中不允许边的重连(连接两个节点的边不止一条)和自连(边的两端连接到同一个节点上)。图1．3展示了重连概率p从O到l增加，网络结构的变化：当