连续时间系统线性特性判别方法探究

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1、连续时间系统线性特性判别方法探究摘要：本文用两种方法对含初始状态的连续时间系统的线性性进行判别。第一种方法直接由定义判别，在数学上更为严谨；第二种由线性系统的延伸特点进行判别，其物理意义更加明确。Abstract:Thearticleusedtwomethodstodeterminethelinearityofinitialstatecontinuoustimesystem・Thefirstmethoduseddifinitiondirectelytodetermine・ItisverypreciseinMathematics；Thesecondmethodusedlinearsyst

2、em，sextendnaturetodetermine,ithasmoredefinitephisicalmeanings.关键词：初始状态；线性系统；零输入响应；零状态响应Keywords:initialstate；linearsystems；zeroinputresponse；zeroStateresponse中图分类号：TM933文献标识码：A文章编号：1006-4311(2013)01-0058-021线性系统的定义已知fl(t)、f2(t)为系统的输入，xl(0)、x2(0)为系统的初始状态，yl(t)、y2(t)为系统的输出。设系统在输入及初始状态作用下与输出的关系为下式所

3、示。Tf■(t)x・(0)=yl(t),Tf■(t)x・(0)=y2(t)若满足T?琢fl(t)xl(0)+?茁彳・(t)x・(0)=?琢yl(t)+?茁y2(t)其中？琢，？茁为任意常数，则为线性系统。2含初始状态线性系统特性当含初始条件作用时，系统的输出y(t)可以看成是输入信号与初始条件分别作用时的叠加，其中，yx(t)为零输入响应，yf(t)为零状态响应，总输出则为完全响应。即y(t)=Tf(t)x(0)=TOx(0)+f(t)0二TOx(0)+Tf(t)0=yx(t)+yf(t)完全响应二零输入响应+零状态响应。由以上讨论可见，系统线性性除了可用定义判别外，还可从下面三个方面

4、进行判别。2.1可分解性：将系统输出响应y(t)分解为零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)之和，即y(t)可表示为两部分之和，一部分仅和x(0)有关，一部分仅和f(t)有关；2.2零输入响应yx(t)线性：yx(t)与初始状态x(0)呈线性，如图1所示。2.3零状态响应yf(t)线性：yf(t)与输入f(t)呈线性，如图2所示。若上面三个条件均满足则为线性系统，只要有一条不满足则为非线性系统，这种方法可以理解为线性系统的可分解特性。例1:已知系统y(t)=x(0)lgf(t),判断是否为线性系统？方法一：用定义判断设Tfl(t)xl(0)=yl(t)=xl(0)lgfl(t)Tf

5、2(t)x2(0)=y2(t)=x2(0)lgf2(t)则T?琢fl(t)xl(0)+?茁f2(t)x2(0)=T?琢fl(t)+?茁f2(t)?琢xl(0)+?茁x2(0)=[?琢xl(0)+?茁x2(0)]lg[?琢fl(t)+?茁f2(t)]工？琢yl(t)+?茁y2(t)V?琢yl(t)+?茁y2(t)=?琢xl(0)lgfl(t)+?茁x2(0)lgf2(t).•.系统为非线性。方法二：用可分解特性法判断由于题目给定系统不满足可分解性，即不能表示为两部分之和，使得一部分仅和初始状态x(0)有关，而另一部分仅和f(t)有关，故系统为非线性，与定义法判断结论一致。例2：已知系统y

6、(t)=lgx(0)+■,判断是否为线性系统？方法一：用定义判断设Tf・(t)x・(0)=yl(t)二lgxl(0)TfB(t)x・(0)=y2(t)=lgx2(0)T?琢fl(t)xl(0)+?茁f2(t)x2(0)=T?琢fl(t)+?茁f2(t)?琢xl(0)+?茁x2(0)=lg[?琢xl(0)+?茁x2(0)=lg[?琢xl(0)+?茁x2(0)]+?琢■+?茁・H?琢yl(t)+?茁y2(t)V?琢yl(t)+?茁y2(t)=?琢lgxl(0)+?琢■+?茁lgx2(0)+?茁・・••系统为非线性。方法二：用可分解特性法判断虽然给定系统的输出可以分解为零输入响应和零状态响应

7、之和，满足可分解性，但是因为零输入响应yx(t)=lgx(0),呈对数关系，为非线性，如图3所示，故整个系统是非线性的。当然，此题也可以利用定义法单独讨论零输入响应yx(t)是否线性，具体过程如下。(1)讨论齐次性设T{xl(0)}=yxl(t)二lgxl(0),则T{?琢xl(0)}=lg[?琢xl(0)]^ayxl(t)•.•?琢yxl(t)二？琢lgxl(0)・••不满足齐次性，为非线性系统(2)讨论叠加性:T{xl(0)}=yxl(t)