初一数学：平方根与立方根的综合应用

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1、课程信息年级七年级学科数学版本通用版课程标题平方根与立方根的综合运用平方根和立方根的区别与联系:平方根立方根定义如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。其中正数a的正的平方根称算术平方根。如果一个数的立方等于a,那么这个数就称为a的立方根，例如：x的立方=a,x就是a的立方根。性质（1）正数的平方根都有两个，它们互为相反数。（2）0的平方根是它本身。（3）负数没有平方根。（1）任何数都有立力根，且都只有一个立方根。（2）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。个数有2个，并且互

2、为相反数（0的只有一个）。只有唯一一个取值范围非负数所有实数表示方法记为“、历”读作“根号a”，其中d叫被开方数，2叫根指数，通常省略不写。例如：±的表示9的平方根，蔚表示是9的算术平方根。记作扬，读作：“三次根号CI”，其屮G叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如：“27表示27的立方根。运算力式开方运算，是乘方运算的逆运算，可以通过平方来检验。开方运算，是乘方运算的逆运算，可以通过立方来检验。例题1一届的立方根是（）A.-8B.-4C.-2D.不存在解析：先根据算术平方根的定义求出-

3、届，再根据立方根的定义进行计算。答案：解：・・•一辰=一8,V64的立方根是一2。故选C。点拨：本题考查了立方根的定义、算术平方根的定义，先化简一個是解题的关键。例题2（高淳县一模）在①2的平方根是②2的平方根是±V2;③2的立方根是务0④2的立方根是士紡中，正确的结论有几个（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：根据立方根、平方根的定义分别求出2的平方根与立方根，则可求得答案。答案：解：・・・2的平方根是士伍，2的立方根是越，・・・②③正确，①④错误；・・・正确的结论有2个。故选B。点拨：此题主要考

4、查了平方根与立方根的定义和性质。注意熟记定义是解此题的关键。例题(1)判断下列各式是否正确成立。i陳=20也(2)(3)(4)判断完以后，你有什么体会？你能否得到更一般的结论？若能，请写出你的一般结论。解析：经过对上述式子的计算，可得出式子均正确，故可得出结论为3n—^3nn3-lVn3-1答案：解：由已知能。(1)(2)(3)(4)经观察发现，上述的等式均满足这样的规律:3门4^=叫华，n3-l忖_]n_^31n点拨：本题要求学生具有一定的观察能力和总结规律的能力。故推广后可得31.如果一个有理数的平

5、方根和立方根相同，那么这个数是（）A.±IB.OC.1D・0和12.如果需巨是数a的立方根，一爭是b的一个平方根，则a叭（一b）°等于（）A.2B.-2C.1D.13.耍使斯（4_&上a-4，则a的取值范围是（）A.a>4B.a<4C.a=4D.任意数4.下列说法：（1）1的平方根是1；（2）-1的平方根是一1；（3）0的平方根是0；（4）1是1的平方根；（5）只有正数才有立方根。其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.（黄冈）下列说法中正确的是（）A.两是一个无理数B.函数尸/1的自变量x

6、的取值范圉是x>lC.8的立方根是±2D.若点P（-2,a）和点Q（b,-3）关于x轴对称，则a+b的值为56.一个自然数a的算术平歹根为x,贝0a+1的立方根是（）久b.引&+1）2c.D.7.若一个数的平方根为±8,则这个数的立方根为o8.已知昕是M的立方根，尸循三是x的相反数，且M=3a-7,那么x的平方根是o9.务丽的平方根是:（-5）2的算术平方根是-10.一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，求这个数。11.己知：x-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平

7、方根。12.王老师有两个棱长为40cm的正方体纸箱，都装满了书，他现在把这些书都放入一个新制的正方体木箱中，正好装满，那么这个木箱的棱长大约是多少？想想看。（结果精确到0.01cm）1.B解析：根据平方根和立方根的概念可知，一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是0。所以，0的平方根和立方根相同。故选B。2.B解析：此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根。注意一个数的立方根与原数的性质符号相同。先根

8、据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再代入所求代数式中计算即可求解。由题意得，a=—2,b=22所以3畋（-b）9=（-2）,（）x（—丄）9=—223.C解析：此题主要考查开立方。求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根。注意一个数的立方根与原数的符号相同。由立方根的定义可知，此时根式的值应为4—a,再由题意可得a—4=4—a,由此即可求出a的值。故选C。4.B解析