导数问题高考题型和解法解读

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1、导数问题高考题型和解法解读关键词：导数；极值；单调性；恒成立问题中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号:1009-010X(2013)069-0081-01在近几年的高考中，对导数问题的考查力度正在逐年增加，不仅题型在变化，而且设置问题的难度、深度与广度也在不断加大，将导数与其它数学知识的结合已成为高考题的一道靓丽的风景线。一、对导数定义和求导法则的考查例1.设函数f(x)二・+lnx,则()A.x=・％f(x)的极大值点(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点解：f(x)=・+lnx(x>0),.*.fz(x)=-■+■,由f'

2、(x)=0解得x=2.当xe(0,2)时，f‘(x)0,f(x)为增函数，.・.x=2为f(x)的极小值点，所以选D。点评：本题考查了利用导数确定极值点问题，但首先要利用求导公式对函数顺利求导，才能快速作答。二、对导数几何意义的考查例2•曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为・解：・・了二3x2-1,:寸

3、x=l=3X12-1=2,故曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为y-3=2(x-l)即y=2x+l.点评：本题涉及到曲线的切线问题，由于此曲线是三次线，很难正常求解，导数的几何意义无疑为这类问题的解决提供了新方法、新途径。实际上，涉及到曲线的切线尤其

4、是三次或三次以上的曲线与对数曲线、指数曲线等曲线的切线和公切线问题，常常考虑利用导数来求解，可谓事半功倍。三、对利用导数求函数的极值或最值的考查利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间［%b］上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际问题是髙中函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化、程序化，因而已逐渐成为新高考的一大热点。例3•已知函数f(x)二ax3+bx+c在点x二2处取得极值cT6.(1)求％b的值；(2)若f(x)有最大值28,求f(x)在［-3,3］上的最小值.解：(略)点评：本题主要考查运用导数研究函数的最值、极值问题，同时考查由极值求

5、参数的逆向思维能力，还考查学生的分析和解决问题的能力。这类问题用传统数学教材中的知识与方法往往难以解决，导数成为破解此类问题的重要工具。四、运用导数解决与函数单调性有关的问题的考查运用导数的符号判断函数单调性的知识，或者已知函数的单调性，反过来确定函数式中特定字母的值或范围，并且在知识考核的过程中包含着对分类讨论及转化与化归等的数学思想的全面考查，是近年来高考的必考之点。例4.设函数f(x)二ax+cosx,xW[0,(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)Wl+sinx,求a的取值范围.点评：可导函数f(x)在(a,b)上是单增(或单减)函数的充要条件是：对于任意xW

6、(a,b)都有f(x)20(或f'(x)W0),且f‘(x)在(a,b)的任意子区间上都不恒为零。在高中阶段主要出现的是有一个或多个(有限个)使fz(x)=0的点的情况。上题主要考查了学生应用导数研究函数单调性的方法以及分类讨论及转化与化归的数学思想。这种命题方式是今后高考命题的一种趋向，体现了高考“能力立意”的思想，复习中应引起高度重视。五、对利用导数处理含参数的恒成立问题的考查恒成立问题中的参数取值范围，其解决方式较多，如果我们在短时间内难以很快寻得正确的解题思路时，可以考虑试试从导数知识入手，解题或许将锋回路转，柳暗花明，这就再一次说明导数在教材中的引入，拓宽了高考的

7、命题空间，受到命题教师的青睐。例5.已知函数f(x)二ex-ax,其中a>0.(1)若对一切xWR,f(x)$1恒成立，求a的取值集合；(1)在函数f(x)的图象上取定点A(xl,f(xl)),B(x2,f(x2))(xlO,D=AAB.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D内的极值点.点评：本题主要考查一元二次不等式的解法、极值的求法、集合的运算及分类讨论思想等知识的交汇应用。通过运用导数知识解决集合、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力。