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时间:2019-02-17
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1、轴对称变换1、在中,由点向边引高线,垂足落在上,如果,求证:.2、如图所示,在四边形中,,,求证:.3、如图所示,在中,,、为的两条高,求证:.4、如图所示,在四边形中,,,,,,求四边形的面积.105、在凸四边形中,,.如果厘米,求四边形的面积.6、(1993年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题)已知点是四边形的边的中点,且,证明:.7、设是凸四边形的边的中点,,求证:.8、如图所示,在中,的平分线交于点,已知,且,求的各个内角.109、如图所示,已知在中,,,,的平分线交于,求之长.10、如图所示,在中,,为三角形内一点,,
2、,求证:.11、如图所示,在中,,,为的中点,,是边上的点,,求的面积与的面积的两倍的和.12、如图所示,在中,,是边上的高,点在内部,求证:.1014、在中,,,为内部一点,,,求的度数.15.如图所示,为边上的一点,且,已知,,试求的度数.参考答案101题【解法1】如图所示,以为对称轴翻折到的位置,则在上,,,.在中,根据外角定理可知,所以,故.【解法2】以为对称轴翻折到的位置,则,从而.进而,而(由“翻折”的特点决定),故.【解法3】回顾一下我们在第10讲中所学的知识,可知,即.注意到,故,即,亦即,故.2题【解析】
3、注意到,这提示我们可以进行对称变换以“创造”出角.以为对称轴将翻折到的位置,连接.则,,故为等边三角形.从而,等号成立时平分.3题10【解法1】将改写为,可形成下面的思路:的平分线记为,作点关于的对称点,作点关于的对称点,过点作的垂线,因为,,而,故.【解法2】我们用“分析法”寻求思路:.注意到,,,故.而由、.4题:【解析】直接计算四边形的面积有困难,注意到,我们以的垂直平分线为对称轴,作的关于的轴对称图形,从而可以将角度集中.,,,,所以,因此,是直角三角形.由勾股定理求得.在中,,,.而.由勾股定理的逆定理可知..5
4、题:【解析】如图所示,以边上的中垂线为对称轴作的轴对称图形,10则,,,故、、共线.又因为,由可知,而,故.因此,是等腰直角三角形.故6题:【解析】显然,要证题设的不等式,应当把,,三条线段首尾连接成一条折线,然后再与线段比较.要实现这一构想,折线之首端应与点重合,尾端应与点重合,这可由轴对称来实现.以为对称轴,作点关于的对称点,连接、,则,,即≌,由此.再以为对称轴,作点关于的对称点,连接、,则,,即≌,由此.而,所以.注意到,因此,而,所以是等边三角形,.由于两点之间以直线段为最短,所以,即.7题:【解析】作点关于的对
5、称点,作点关于的对称点,连接、、,则,10且,.而,则,故.8题:【解析】是角平分线提示我们可以进行“翻折”.将点翻折到的位置,且在的延长线上,且,,.延长至点,使,则,故,从而,则,故为等边三角形.故,.9题:由于平分,因此这就提供了以为轴进行对称变换的可能性.取的中点,连接,交于,易知与关于对称,且.由于,,所以.延长至,使,连接交的延长线于点.显然和关于对称,且.由于是的中位线,所以,.因为,所以.所以,.于是.10题:【解析】由已知条件,考虑作直线于,并以为对称轴将翻折至的位置,连接.由轴对称的性质有,.10因为,
6、于是,即是正三角形,从而可得,.再由三内角之和为,即,整理后得.11题:【解析】将补成一个等边三角形,并作的对称三角形,可以发现等边三角形的面积等于.作,其中点在的延长线上,则为等边三角形.作于点,并取点关于点的对称点,则有.而,,故,且相似比为.则.而(),故.12题:【解析】作点关于的对称点,连接并延长交于点,连接.因为,是边上的高,易得.因为,,故.14题:10【解析】容易求得,.的对称轴为,作点关于的对称点,则,故为等边三角形,则平分,.故.15题:【解析】作出点关于直线的对称点,连接、、,则,如图所示..取的中点
7、,连接,则为等边三角形,,故,.又因为,故,故平分,故点到直线、、等距,从而是的外角平分线,所以10
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