数学名题：圆圈标数经典系列

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1、[阅读材料]圆圈标数经典系列在教学过程中一些同类型的题见得多了，可以挖掘一下，整理出来，供读者参考。现给大家献上在直线与圆圈上写数以及二者之间关系的系列名题。题目1.今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分别标上，第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和，第三次把4段圆弧二等分，并在4个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和如此继续下去，当第八次标完数以后，圆周上所有已标数的总和是多少？写数的次数12345A+B的个数1392781解析：碰到这样的题，可先把改作A与B，整个探索过程不把每一个复杂的和算出，只是数出A与B的总个数。这样第一次为A与B和

2、的一倍，第二次后为3A+3B，第三次标完后为9A+9B，………这样能较容易地发现规律：每次新的结果总是原来的3倍。正是因为增加的每个数都是原来相邻两个数之和,所以每次增加数的总和恰好是原来所有数总和的2倍,也就是说每次标完数后圆周上所有数的总和是前一步标完数后圆周上所有数的总和的3倍,例如：二分之一它在左边算了一次，在右边算了一次，本身一次，所以二分之一在下次标完后已成为原为的3倍了，其它数也是如此。于是第八次标完数后圆周上所有数的总和是:.变化一题目2.今要在一条线段上标出一些数，第一次在两个端点旁分别标上，第二次把线段二等分，在中点旁标上两边所标两数的和，第三次把2段线段各二等分，并在

3、2个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和，即每次都在已写上的两个相邻数之间，写上这两个相邻数之和，如此继续下去，当第八次标完数以后，线段上所有已标数的总和是多少？解析：与上题一样先把改作A与B，次数与A+B的个数填入下表：写数的次数12345A+B的个数12514414/4这串数有什么规律吗？可以看出后一数总是前一个数的3倍减1，则可算出第八次为：1094个A+B,代入计算可得。为什么是3倍减一的关系呢？这是因为这种标数方法每一次除了两端的数算两次外，其余每数都要算3次，因此乘3后得减去1个A+B。寻求最佳解法：可借助上题的结论。再取一条本题所说的线段同样标数，这样把两条线段两端对接围成一个

4、圆圈，这个圆圈的和比上题多出了一个，反过来，给上题的圆圈在旁边再各补上一个，然后切成两段，其中的一段就是第二题的结论。因此可用上题的结论来列式：也得到同样结果。变化二：题目1.在2，3两数之间，第一次写上5（5=2+3），第二次在2，5和5，3之间分别写上7（7=2+5），8（8=5+3），即每次都在已写上的两个相邻数之间，写上这两个相邻数之和，这样的过程共重复6次，问所有数之和是。2…7…5…8…3用找规律的办法，列出数据，写数的次数原始1234每次的总和5102570205有上两题的经验，这里也是3倍减1的递推关系。可求得1825。模仿第二题的最佳解法试试：，也就是先把本题当成类似题1

5、的圆圈上标数后再多加上2与3，然后切成两条线，其中的一条是本题所求。这一思路可能对其它类似题目有所帮助。在实际教学中发现很多学生拿不准次数，总要算成数列中的前一个或后一个，这里要提醒大家对原始状态与第一次一定要区分开。变化三：题目2.在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上2和4。第二次把两段半圆弧分别二等分，在分点标上相邻两分点两数的平均数3（见右图）。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第8次标完后，圆周上所有标出的数的总和是多少？4/4提示：第一次标完数后，以后每次标上的数字之和都等于上次圆周上的所有数字之和，即每次

6、标完数后，圆周上的所有数字之和是原来的2倍。第8次标完后的总和是　　6×28-1=6×27=768。变化四：第一次操作，在圆上两个不同的点上分别写上数4和3，第二次操作，在数字3，4将圆周分成的两条圆弧的中点处分别写上3与4的和，第三次操作，在四个四分之一圆弧的中点处分别写上每条弧的两端点上的数之和；……；如图1所示，每次都在由数字划分出的圆弧的中点处分别写上这条弧的两端点上的两个数的和。（1）操作了10次后，圆周上的所有数的和是。（2）20次操作后圆周上的所有数的和与22次操作后圆周上的所有数的和的比是。（第十届华杯赛试题）提示：设第K次操作后圆周上的数字的和是S，则S1=7，并且，第K

7、+1次操作后圆周上新写上的数字的和是，因此（1）当K+1=10时，=7×=7×3×81×81=137781（2）答：（1）操作了10次后，圆周上的所有数的和是137781，（2）20次操作后圆周上的所有数的和与22次操作后圆周上的所有数的和的比是。评注：这是一道简单的推进归纳的题目，如果将本题中的圆周改成直线段，问题会复杂一些，而且可以编出更为新颖和难度更高的问题，例如：在4，3两数之间，第一次写上7，第二次在4和7之间