两类易混淆的函数问题对称性与周期性

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1、http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育两类易混淆的函数问题：对称性与周期性刘云汉例1.已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（5+x）=f（5－x），问：y=f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2.已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（5+x）=f（5－x），问：y=f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？这两个问题的已知条件形似而质异。有的同学往往把它们混为一谈，从而得出错误的结论。为了准确地回答上述问题，必须掌握以下基本定理。定理1：如果函数y=f（x）（x∈R）满足f（5+x）=f（5－x），那么y=f（x）的图像关于直线对称。

2、证明：设点是y=f（x）的图像上任一点，点P关于直线x=a的对称点为Q，易知，点Q的坐标为。因为点在y=f（x）的图像上，所以于是所以点也在y=f（x）的图像上。由P点的任意性知，y=f（x）的图像关于直线x=a对称。定理2：如果函数y=f（x）（x∈R）满足f（a+x）=f（b－x），那么y=f（x）的图像关于直线的对称。证明：（略）（证明同定理1）定理3：如果函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+a）=f（x－a），那么y=f（x）是以2a为周期的周期函数。证明：令，则5http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育代入已知条件得：根据周期函数的定义知，y=

3、f（x）是以2a为周期的周期函数。定理4：如果函数y=f（x）（x∈R）满足，那么y=f（x）是以为周期的周期函数。证明：（略）（证法同定理3）由以上的定理可知，在已知条件或中，等式两端的两自变量部分相加得常数，如，说明的图像具有对称性，其对称轴为。等式两端的两自变量部分相减得常数，如，说明f（x）是周期函数，其周期T=a+b。容易证明：定理1、2、3、4的逆命题也是成立的。牢牢掌握以上规律，则例1、例2迎刃而解。例1中，，因此f（x）的图像关于直线x=5对称。由这个已知条件我们不能判定f（x）是周期函数。例2中，，因此f（x）是周期函数，其周期T=10。由这个已知条件我们不能判定它是轴对称

4、图形。例3.若函数f（x）=x2+bx+c对于任意实数t均有f（3+t）=f（1－t），那么（）A.f（2）

5、于直线x=2对称；④f（x+2）=f（－x）其中所有正确命题的序号是___________。解析1：（1）因为y=f（x）（x∈R）是奇函数，所以f（－x）=－f（x）令x=0，得f（－0）=－f（0）所以f（0）=0又已知f（x－2）=－f（x）令x=2，得f（0）=－f（2）所以f（2）=－f（0）=0故①成立。（2）因为f（x－2）=－f（x），所以由x－（x－4）=4（两自变量相减得常数）所以f（x）是以4为周期的周期函数。故②成立。5http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育（3）由f（x+2）=f（－x）得：（x+2）+（－x）=2（两自变量相加

6、得常数）所以f（x）的图像关于直线x=1对称。而不是关于直线x=2对称。故③是错误的。（4）由（2）知，f（x）应满足f（x+2）=f（x－2）而f（x－2）=－f（x）所以f（x+2）=－f（x）=f（－x）故④成立。综上所述，应填①②④。解析2：根据题设条件，构造出函数的图像如图2。图2由图可见，①②④正确，而③不正确。例5.函数的图像关于直线x=2对称，则a=___________。解析：因为函数的图像关于直线x=2对称所以有（定理1的逆定理）（与题设矛盾，舍去）或所以。5http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育例6.设f（x）是R上的奇函数，又f（

7、x）的图像关于直线x=a对称。问函数y=f（x）是不是周期函数？如果是，求出它的一个周期。解：因为f（x）的图像关于直线x=a对称由定理1的逆定理知：f（a+x）=f（a－x）用a－x代换上式中的x，得：f（2a－x）=f（x）再用－x代换x，得：f（2a+x）=f（－x）<1>再用2a+x代换x，得：又f（x）为奇函数，即由<1><2>得：即f（x）=f（x+4a）根据周期函数的定义，f（x）是周期函数，且